Номер 2.94, страница 101 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.94. а) На отрезке $AB$ отметьте точки $C$ и $D$. Сколько отрезков получилось?

б) Постройте острый угол $AOB$. Проведите внутри этого угла два луча $OD$ и $OE$. Сколько острых углов получилось?

а) На отрезке AB отмечены две точки C и D. Таким образом, на прямой, содержащей отрезок AB, теперь есть четыре точки: A, B, C, D. Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Чтобы найти общее количество получившихся отрезков, нужно найти все возможные пары точек из этих четырех.

Перечислим все отрезки, называя их по крайним точкам:

• отрезки, начинающиеся в точке A: AC, AD, AB;
• отрезки, начинающиеся в точке C (не включая уже названные): CD, CB;
• отрезок, начинающийся в точке D (не включая уже названные): DB.

Всего получается $3 + 2 + 1 = 6$ отрезков.

Другой способ решения — использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 2 точки из 4 имеющихся (A, B, C, D) для образования отрезка. Это число сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Ответ: 6

б) Построен острый угол AOB. Это означает, что его градусная мера меньше 90°. Внутри этого угла проведены два луча, OD и OE, исходящие из той же вершины O. В результате у нас есть четыре луча, исходящих из одной точки: OA, OD, OE, OB (будем считать, что они расположены в таком порядке).

Угол образуется двумя лучами, выходящими из одной вершины. Чтобы найти общее количество углов, нужно найти все возможные пары лучей из этих четырех.

Перечислим все углы:

• углы, одной стороной которых является луч OA: ∠AOD, ∠AOE, ∠AOB;
• углы, одной стороной которых является луч OD (не включая уже названные): ∠DOE, ∠DOB;
• угол, одной стороной которого является луч OE (не включая уже названные): ∠EOB.

Всего получается $3 + 2 + 1 = 6$ углов.

Поскольку исходный угол ∠AOB — острый, а все остальные углы (∠AOD, ∠AOE, ∠DOE, ∠DOB, ∠EOB) являются его частями, их градусная мера будет меньше, чем у угла ∠AOB. Следовательно, все 6 получившихся углов являются острыми.

Эта задача также может быть решена с помощью комбинаторики, аналогично пункту а). Нам нужно выбрать 2 луча из 4 имеющихся для образования угла:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Ответ: 6