Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.162. а) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба, т. е. сумму площадей всех его граней.

б) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба.

а) Площадь поверхности куба — это сумма площадей всех его шести граней. Каждая грань куба является квадратом. Длина ребра куба, обозначим ее $a$, равна 5 см. Площадь одной грани вычисляется по формуле $S_{грани} = a^2$. Подставляем значение длины ребра: $S_{грани} = 5^2 = 25$ см². Поскольку у куба 6 одинаковых граней, общая площадь поверхности $S_{куба}$ равна произведению площади одной грани на 6. Вычисляем: $S_{куба} = 6 \times 25 = 150$ см².
Ответ: 150 см².

б) Для вычисления площади поверхности куба с ребром $a = 10$ см воспользуемся той же формулой: $S_{куба} = 6 \times a^2$. Сначала найдем площадь одной грани: $S_{грани} = 10^2 = 100$ см². Затем умножим полученную площадь на количество граней, то есть на 6: $S_{куба} = 6 \times 100 = 600$ см².
Ответ: 600 см².

2.163. На гранях кубика (рис. 109) написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи. Рядом с кубиком изображены его развёртки, на которых указано одно из этих чисел. Укажите, как расположены остальные числа.

а) Кубик с видимыми гранями 3 и 2.

б) Развёртка кубика с числом 3.

в) Развёртка кубика с числом 2.

г) Развёртка кубика с числом 1.

Рис. 109

Согласно условию задачи, на гранях кубика написаны числа от 1 до 6, при этом сумма чисел на противоположных гранях всегда равна 7. Это означает, что у нас есть следующие пары противоположных граней:

• 1 и 6 ($1+6=7$)
• 2 и 5 ($2+5=7$)
• 3 и 4 ($3+4=7$)

На рисунке 109 а) показан вид кубика, у которого в одной вершине сходятся грани с числами 1 (сверху), 2 (справа) и 3 (спереди). Эта информация задает точную ориентацию чисел относительно друг друга. При заполнении развёрток необходимо сохранить это взаимное расположение чисел.

Ниже представлены решения для каждой из трёх развёрток.

2.164. На рисунке 110 изображены игральный кубик и его развёртка. Какое число изображено на:

а) нижней грани;

б) боковой грани слева;

в) боковой грани сзади?

Рис. 110

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какие грани игрального кубика являются противоположными друг другу, используя его развёртку. Анализируя развёртку, можно установить пары противоположных граней.

В представленной развёртке:

• Грань с $1$ точкой находится напротив грани с $4$ точками (они разделены гранью с $5$ точками в горизонтальном ряду).
• Грань с $3$ точками находится напротив грани с $6$ точками (они разделены гранью с $5$ точками в вертикальном ряду).
• Оставшиеся грани с $2$ и $5$ точками также являются противоположными.

Теперь, зная пары противоположных граней, мы можем определить числа на невидимых гранях кубика, изображенного на рисунке.

На рисунке мы видим три грани:

• Верхняя грань: $6$ точек.
• Передняя (или правая боковая) грань: $2$ точки.
• Правая боковая (или передняя) грань: $4$ точки.

Исходя из этого, ответим на поставленные вопросы.

а) Нам нужно найти число на нижней грани. Нижняя грань противоположна верхней. На рисунке верхняя грань – это $6$. Согласно нашей схеме, грань, противоположная $6$, – это грань с $3$ точками.
Ответ: $3$

б) Нам нужно найти число на боковой грани слева. Левая боковая грань противоположна правой боковой грани. На рисунке мы видим правую боковую грань с $4$ точками. Противоположная ей грань, согласно развёртке, – это грань с $1$ точкой.
Ответ: $1$

в) Нам нужно найти число на боковой грани сзади. Задняя грань противоположна передней грани. На рисунке мы видим переднюю грань с $2$ точками. Противоположная ей грань, согласно развёртке, – это грань с $5$ точками.
Ответ: $5$

2.165. На рисунке 111 изображены два одинаковых игральных кубика в разных положениях. Какие числа изображены на нижних гранях кубиков?

а) б) Рис. 111

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство стандартного игрального кубика, согласно которому сумма чисел на противоположных гранях всегда равна 7. Противоположными гранями являются: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4.

а)

На кубике, изображенном под буквой 'а', на верхней грани находится число 5. Нижняя грань является противоположной верхней. Чтобы найти число на нижней грани, нужно из 7 вычесть число на верхней грани. Обозначим искомое число за $x$:
$x = 7 - 5 = 2$
Таким образом, на нижней грани первого кубика изображено число 2.
Ответ: 2.

б)

На кубике, изображенном под буквой 'б', на верхней грани находится число 1. Действуя аналогично, находим число на противоположной (нижней) грани. Обозначим это число за $y$:
$y = 7 - 1 = 6$
Таким образом, на нижней грани второго кубика изображено число 6.
Ответ: 6.

2.166. Маша собралась клеить кубики, и для этого она нарисовала различные заготовки (рис. 112). Старший брат посмотрел её работу и сказал, что некоторые из них не являются развёртками кубика. Какие заготовки являются развёртками кубика?

а) б) в) г) Рис. 112

а) Эта заготовка содержит в себе блок из четырёх квадратов размером 2х2. При попытке сложить любую развёртку, содержащую такой блок, две грани неизбежно наложатся друг на друга. Если, например, взять левый нижний квадрат из этого блока за основание, то его соседи справа и сверху станут правой и задней гранями соответственно. Четвёртый квадрат блока при сгибании также попытается стать правой гранью, накладываясь на уже существующую. Следовательно, эта фигура не является развёрткой куба.

Ответ: не является.

б) Данная фигура состоит из длинной полосы в четыре квадрата и ещё двух, присоединённых сбоку. При сгибании полосы из четырёх квадратов образуются боковые стенки «трубы» без дна и крышки. Оставшиеся два квадрата окажутся с одной стороны этой «трубы». При попытке закрыть куб они будут претендовать на одно и то же место, накладываясь друг на друга, в то время как противоположная грань останется открытой. Следовательно, эта заготовка не является развёрткой куба.

Ответ: не является.

в) Эта крестообразная фигура — одна из 11 существующих развёрток куба. Если принять центральный квадрат за основание (нижнюю грань), то четыре соседних квадрата при сгибании образуют боковые стенки (переднюю, заднюю, левую и правую). Оставшийся шестой квадрат станет верхней гранью («крышкой»), которая идеально замкнёт фигуру. Все шесть граней занимают свои места без наложений. Следовательно, эта заготовка является развёрткой куба.

Ответ: является.

г) В этой заготовке при попытке свернуть куб две грани наложатся друг на друга, а для одной грани квадрата не найдётся. Например, если взять за основание один из центральных квадратов (третий, если считать по диагонали сверху вниз), то самый верхний и самый нижний квадраты при сгибании окажутся на одном и том же месте — на месте верхней грани. Таким образом, эта фигура не является развёрткой куба.

Ответ: не является.