Страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.177. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 45 см, ширина 30 см, а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см?

Для того чтобы найти, сколько раз потребуется наполнить банку, сначала вычислим объем воды, который должен быть в аквариуме, а затем разделим его на объем банки.

1. Найдем объем воды в аквариуме
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем воды в нем рассчитывается по формуле: $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, а $h$ – высота уровня воды.

По условию задачи:
Длина $a = 45$ см
Ширина $b = 30$ см
Требуемый уровень воды $h = 20$ см

Подставим значения в формулу: $V_{воды} = 45 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 1350 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 27000 \text{ см}^3$

2. Переведем объем банки в кубические сантиметры
Объем банки равен 3 литрам. Нам нужно перевести литры в кубические сантиметры, чтобы использовать одинаковые единицы измерения. Известно, что $1 \text{ литр} = 1000 \text{ см}^3$.
Следовательно, объем трехлитровой банки: $V_{банки} = 3 \text{ л} = 3 \cdot 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$

3. Рассчитаем количество наполнений банки
Чтобы найти, сколько раз нужно наполнить банку, разделим необходимый объем воды в аквариуме на объем одной банки: $N = \frac{V_{воды}}{V_{банки}} = \frac{27000 \text{ см}^3}{3000 \text{ см}^3} = 9$

Ответ: 9 раз.

2.178. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ — длина, $b$ — ширина, а $c$ — высота.Пусть первоначальный объём параллелепипеда равен $V_0 = a \cdot b \cdot c$.

а) если его длину увеличить в 2 раза;
Новая длина будет $a_1 = 2a$. Ширина $b$ и высота $c$ остаются без изменений.Новый объём $V_1 = a_1 \cdot b \cdot c = (2a) \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 2V_0$.Следовательно, объём увеличится в 2 раза.
Ответ: увеличится в 2 раза.

б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза;
Новая длина $a_1 = 2a$, новая ширина $b_1 = 3b$. Высота $c$ остаётся без изменений.Новый объём $V_2 = a_1 \cdot b_1 \cdot c = (2a) \cdot (3b) \cdot c = 6 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 6V_0$.Следовательно, объём увеличится в 6 раз.
Ответ: увеличится в 6 раз.

в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза;
Новая длина $a_1 = 2a$, новая ширина $b_1 = 3b$, новая высота $c_1 = 4c$.Новый объём $V_3 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = 24 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 24V_0$.Следовательно, объём увеличится в 24 раза.
Ответ: увеличится в 24 раза.

г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза?
Новая длина $a_1 = 4a$, новая ширина $b_1 = \frac{b}{2}$, новая высота $c_1 = \frac{c}{2}$.Новый объём $V_4 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1 = (4a) \cdot (\frac{b}{2}) \cdot (\frac{c}{2}) = \frac{4}{4} \cdot (a \cdot b \cdot c) = 1 \cdot V_0 = V_0$.Следовательно, объём не изменится.
Ответ: не изменится.

2.179 Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра:

а) в 2 раза;

б) в 3 раза;

в) в 10 раз?

Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. Если длину ребра увеличить в $k$ раз, то новый объём будет равен $(k \cdot a)^3 = k^3 \cdot a^3$. Таким образом, отношение нового объёма к старому будет равно $\frac{k^3 \cdot a^3}{a^3} = k^3$. Это означает, что объём увеличится в $k^3$ раз.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Ребро куба увеличили в 2 раза, то есть $k = 2$. Тогда объём куба увеличится в $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ раз.

Ответ: в 8 раз.

б)

Ребро куба увеличили в 3 раза, то есть $k = 3$. Тогда объём куба увеличится в $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ раз.

Ответ: в 27 раз.

в)

Ребро куба увеличили в 10 раз, то есть $k = 10$. Тогда объём куба увеличится в $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ раз.

Ответ: в 1000 раз.

2.180. Найдите в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

а) Какую величину на Руси измеряли вёдрами?

б) Что измеряют галлонами; баррелями? В каких странах используются эти единицы измерения?

в) На ёмкостях иностранного производства иногда встречается такое обозначение объёма: $100 cl$ (100 сантилитров). Выразите этот объём в принятых в России единицах.

а) На Руси вёдрами измеряли объём, преимущественно жидких и сыпучих тел. Ведро являлось одной из основных русских дометрических единиц объёма. Вёдрами измеряли, например, воду, квас, мёд, молоко, а также зерно. Объём торгового («казённого») ведра составлял примерно 12,3 литра.
Ответ: Вёдрами на Руси измеряли объём.

б) Галлонами и баррелями измеряют объём.
Галлон — это единица объёма, используемая в основном для жидкостей (например, бензина, молока). Эта единица является частью имперской и американской традиционной системы мер, поэтому используется в США, Великобритании, Канаде и некоторых других странах. Важно отметить, что американский галлон ($≈ 3,785$ литра) и имперский (британский) галлон ($≈ 4,546$ литра) имеют разный объём.
Баррель — это также единица измерения объёма. Наиболее широко это понятие используется для измерения объёма сырой нефти (нефтяной баррель). В этой отрасли баррель является международной единицей и равен 42 американским галлонам, или примерно 159 литрам. Баррели также могут использоваться для измерения объёма других веществ, например, пива, но их объём будет другим.
Ответ: Галлонами и баррелями измеряют объём. Галлоны используются в странах, применяющих имперскую систему мер (США, Великобритания и др.). Баррель (нефтяной) является международной единицей измерения объёма нефти.

в) В России принята метрическая система мер, в которой основными единицами объёма для бытовых нужд являются литры (л) и миллилитры (мл). Сантилитр (cl) также является единицей метрической системы.
Приставка «санти-» означает одну сотую часть, следовательно, 1 сантилитр равен одной сотой литра.
$1 \text{ cl} = 0,01 \text{ л}$
Чтобы выразить 100 сантилитров в литрах, нужно выполнить следующее вычисление:
$100 \text{ cl} = 100 \times 0,01 \text{ л} = 1 \text{ л}$
Также этот объём можно выразить в миллилитрах. Поскольку в одном литре содержится 1000 миллилитров, то:
$1 \text{ л} = 1000 \text{ мл}$
Таким образом, 100 сантилитров эквивалентны 1 литру.
Ответ: 100 cl равны 1 литру (л) или 1000 миллилитрам (мл).