Страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.204. Катер, имеющий собственную скорость $15 \text{ км/ч}$, проплыл $2 \text{ ч}$ по течению реки и $3 \text{ ч}$ против течения. Какое расстояние проплыл катер за всё время, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для того чтобы найти общее расстояние, которое проплыл катер, нужно сначала вычислить расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения, а затем сложить их.

1. Вычисление скорости и расстояния по течению реки.

Скорость катера по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения.

Скорость по течению: $v_{по\;теч.} = v_{собств.} + v_{теч.} = 15\;км/ч + 2\;км/ч = 17\;км/ч$.

Теперь найдем расстояние, которое катер проплыл по течению за 2 часа, используя формулу $S = v \cdot t$.

Расстояние по течению: $S_{по\;теч.} = 17\;км/ч \cdot 2\;ч = 34\;км$.

2. Вычисление скорости и расстояния против течения реки.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения.

Скорость против течения: $v_{против\;теч.} = v_{собств.} - v_{теч.} = 15\;км/ч - 2\;км/ч = 13\;км/ч$.

Теперь найдем расстояние, которое катер проплыл против течения за 3 часа.

Расстояние против течения: $S_{против\;теч.} = 13\;км/ч \cdot 3\;ч = 39\;км$.

3. Вычисление общего расстояния.

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения.

$S_{общее} = S_{по\;теч.} + S_{против\;теч.} = 34\;км + 39\;км = 73\;км$.

Ответ: 73 км.

2.205. а) Расстояние между причалами $24 \text{ км}$. Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно, если собственная скорость моторной лодки $10 \text{ км/ч}$, а скорость течения $2 \text{ км/ч}$?

б) Расстояние между двумя причалами $36 \text{ км}$. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость $15 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

а)

Чтобы найти общее время, затраченное моторной лодкой на путь туда и обратно, нужно сначала вычислить время, потраченное на каждый из путей (по течению и против течения), а затем сложить их.

1. Сначала найдем скорость моторной лодки, когда она движется по течению реки. Для этого к собственной скорости лодки прибавим скорость течения:

$v_{по\;течению} = 10 \; км/ч + 2 \; км/ч = 12 \; км/ч$

2. Теперь найдем время, которое лодка потратит на путь по течению. Для этого расстояние разделим на скорость по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{24 \; км}{12 \; км/ч} = 2 \; часа$

3. Далее найдем скорость моторной лодки против течения. Для этого из собственной скорости лодки вычтем скорость течения:

$v_{против\;течения} = 10 \; км/ч - 2 \; км/ч = 8 \; км/ч$

4. Найдем время, которое лодка потратит на обратный путь против течения:

$t_{против\;течения} = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{24 \; км}{8 \; км/ч} = 3 \; часа$

5. Наконец, найдем общее время, сложив время движения по течению и время движения против течения:

$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 2 \; ч + 3 \; ч = 5 \; часов$

Ответ: 5 часов.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Необходимо найти время движения катера по течению и против течения и сложить их.

1. Найдем скорость катера по течению реки, сложив его собственную скорость и скорость течения:

$v_{по\;течению} = 15 \; км/ч + 3 \; км/ч = 18 \; км/ч$

2. Рассчитаем время, затраченное на путь по течению, разделив расстояние на скорость по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{36 \; км}{18 \; км/ч} = 2 \; часа$

3. Найдем скорость катера против течения, вычтя скорость течения из собственной скорости катера:

$v_{против\;течения} = 15 \; км/ч - 3 \; км/ч = 12 \; км/ч$

4. Рассчитаем время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{против\;течения} = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{36 \; км}{12 \; км/ч} = 3 \; часа$

5. Сложим время движения в обе стороны, чтобы найти общее время в пути:

$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 2 \; ч + 3 \; ч = 5 \; часов$

Ответ: 5 часов.

2.206. Определив скорости, заполните таблицу:

Для решения задачи используются следующие обозначения и формулы:

• $v_{собств.}$ — собственная скорость объекта (скорость в стоячей воде).
• $v_{течения}$ — скорость течения реки.
• $v_{по\ теч.}$ — скорость объекта по течению реки.
• $v_{пр.\ теч.}$ — скорость объекта против течения реки.

Основные соотношения между скоростями:

• Скорость по течению: $v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения}$
• Скорость против течения: $v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения}$

Из этих формул можно вывести другие, полезные для решения:

• $v_{собств.} = v_{по\ теч.} - v_{течения}$
• $v_{собств.} = v_{пр.\ теч.} + v_{течения}$
• $v_{течения} = v_{по\ теч.} - v_{собств.}$
• $v_{течения} = v_{собств.} - v_{пр.\ теч.}$
• $v_{собств.} = \frac{v_{по\ теч.} + v_{пр.\ теч.}}{2}$
• $v_{течения} = \frac{v_{по\ теч.} - v_{пр.\ теч.}}{2}$

Теперь заполним пропуски в таблице для каждой строки.

1

Дано: $v_{собств.} = 12$ км/ч, $v_{течения} = 4$ км/ч.

Находим скорость по течению:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 12 + 4 = 16$ км/ч.

Находим скорость против течения:

$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 12 - 4 = 8$ км/ч.

Ответ: $v_{по\ теч.} = 16$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 8$ км/ч.

2

Дано: $v_{собств.} = 25$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 28$ км/ч.

Находим скорость течения:

$v_{течения} = v_{по\ теч.} - v_{собств.} = 28 - 25 = 3$ км/ч.

Находим скорость против течения:

$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 25 - 3 = 22$ км/ч.

Ответ: $v_{течения} = 3$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 22$ км/ч.

3

Дано: $v_{собств.} = 24$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 20$ км/ч.

Находим скорость течения:

$v_{течения} = v_{собств.} - v_{пр.\ теч.} = 24 - 20 = 4$ км/ч.

Находим скорость по течению:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 24 + 4 = 28$ км/ч.

Ответ: $v_{течения} = 4$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 28$ км/ч.

4

Дано: $v_{течения} = 5$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 17$ км/ч.

Находим собственную скорость:

$v_{собств.} = v_{по\ теч.} - v_{течения} = 17 - 5 = 12$ км/ч.

Находим скорость против течения:

$v_{пр.\ теч.} = v_{собств.} - v_{течения} = 12 - 5 = 7$ км/ч.

Ответ: $v_{собств.} = 12$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 7$ км/ч.

5

Дано: $v_{течения} = 3$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 16$ км/ч.

Находим собственную скорость:

$v_{собств.} = v_{пр.\ теч.} + v_{течения} = 16 + 3 = 19$ км/ч.

Находим скорость по течению:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 19 + 3 = 22$ км/ч.

Ответ: $v_{собств.} = 19$ км/ч, $v_{по\ теч.} = 22$ км/ч.

6

Дано: $v_{по\ теч.} = 45$ км/ч, $v_{пр.\ теч.} = 39$ км/ч.

Находим собственную скорость:

$v_{собств.} = \frac{v_{по\ теч.} + v_{пр.\ теч.}}{2} = \frac{45 + 39}{2} = \frac{84}{2} = 42$ км/ч.

Находим скорость течения:

$v_{течения} = \frac{v_{по\ теч.} - v_{пр.\ теч.}}{2} = \frac{45 - 39}{2} = \frac{6}{2} = 3$ км/ч.

Ответ: $v_{собств.} = 42$ км/ч, $v_{течения} = 3$ км/ч.

Итоговая заполненная таблица:

2.207. Определите, какая скорость получится, следующим действием:

а) $v_{\text{с}} + v_{\text{т}}$;

б) $v_{\text{с}} - v_{\text{т}}$;

в) $v_{\text{пр. т.}} + v_{\text{т}}$;

г) $v_{\text{пр. т.}} + 2v_{\text{т}}$;

д) $v_{\text{по т.}} - v_{\text{т}}$;

е) $v_{\text{по т.}} - v_{\text{пр. т.}}$

Для решения задачи введем следующие обозначения, используемые в кинематике для описания движения тела в движущейся среде (например, лодки в реке):

• $v_{с.}$ — собственная скорость тела (скорость относительно среды, например, воды).
• $v_{т.}$ — скорость течения (скорость среды относительно неподвижной системы отсчета, например, берега).
• $v_{по\ т.}$ — скорость тела по течению (скорость тела относительно берега при движении в направлении течения).
• $v_{пр.\ т.}$ — скорость тела против течения (скорость тела относительно берега при движении в направлении, противоположном течению).

Эти скорости связаны следующими соотношениями:

• Скорость по течению: $v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$
• Скорость против течения: $v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$

Теперь определим, какая скорость получится в каждом из предложенных случаев.

а) $v_{с.} + v_{т.}$

Сложение собственной скорости тела и скорости течения по определению дает скорость тела при движении по течению.

$v_{с.} + v_{т.} = v_{по\ т.}$

Ответ: скорость по течению ($v_{по\ т.}$).

б) $v_{с.} - v_{т.}$

Вычитание скорости течения из собственной скорости тела по определению дает скорость тела при движении против течения.

$v_{с.} - v_{т.} = v_{пр.\ т.}$

Ответ: скорость против течения ($v_{пр.\ т.}$).

в) $v_{пр.\ т.} + v_{т.}$

Подставим в выражение формулу для скорости против течения $v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$.

$v_{пр.\ т.} + v_{т.} = (v_{с.} - v_{т.}) + v_{т.} = v_{с.}$

В результате получаем собственную скорость тела.

Ответ: собственная скорость ($v_{с.}$).

г) $v_{пр.\ т.} + 2v_{т.}$

Подставим в выражение формулу для скорости против течения $v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$.

$v_{пр.\ т.} + 2v_{т.} = (v_{с.} - v_{т.}) + 2v_{т.} = v_{с.} + v_{т.}$

Полученное выражение $v_{с.} + v_{т.}$ является скоростью по течению.

Ответ: скорость по течению ($v_{по\ т.}$).

д) $v_{по\ т.} - v_{т.}$

Подставим в выражение формулу для скорости по течению $v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$.

$v_{по\ т.} - v_{т.} = (v_{с.} + v_{т.}) - v_{т.} = v_{с.}$

В результате получаем собственную скорость тела.

Ответ: собственная скорость ($v_{с.}$).

е) $v_{по\ т.} - v_{пр.\ т.}$

Подставим в выражение формулы для скорости по течению ($v_{по\ т.} = v_{с.} + v_{т.}$) и против течения ($v_{пр.\ т.} = v_{с.} - v_{т.}$).

$v_{по\ т.} - v_{пр.\ т.} = (v_{с.} + v_{т.}) - (v_{с.} - v_{т.}) = v_{с.} + v_{т.} - v_{с.} + v_{т.} = 2v_{т.}$

В результате получаем удвоенную скорость течения.

Ответ: удвоенная скорость течения ($2v_{т.}$).

2.208. а) По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения.

б) Катер проплыл 72 км по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

Указание. Сделайте краткую запись условия задачи в виде таблицы, указав путь, скорость, время движения по течению (против течения) реки.

а)

Для решения задачи составим краткую запись в виде таблицы. Обозначим собственную скорость лодки как $v_с$, а скорость течения как $v_т$.

1. Найдем скорость лодки по течению реки:

$v_{по \ теч.} = S / t = 48 / 3 = 16$ (км/ч)

2. Найдем скорость лодки против течения реки:

$v_{против \ теч.} = S / t = 48 / 4 = 12$ (км/ч)

3. Мы имеем систему уравнений:

$v_с + v_т = 16$

$v_с - v_т = 12$

Чтобы найти скорость течения, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_с + v_т) - (v_с - v_т) = 16 - 12$

$2 \cdot v_т = 4$

$v_т = 4 / 2 = 2$ (км/ч)

Другой способ найти скорость течения — это использовать формулу: $v_т = \frac{v_{по \ теч.} - v_{против \ теч.}}{2}$.

$v_т = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (км/ч)

Ответ: 2 км/ч.

б)

Скорость плотов равна скорости течения реки. Поэтому, чтобы узнать, за сколько часов плоты проплывут 72 км, нам нужно найти скорость течения.

Составим таблицу для данных о катере:

1. Найдем скорость катера по течению:

$v_{по \ теч.} = 72 / 2 = 36$ (км/ч)

2. Найдем скорость катера против течения:

$v_{против \ теч.} = 72 / 3 = 24$ (км/ч)

3. Найдем скорость течения ($v_т$), которая и будет скоростью плотов ($v_{плота}$):

$v_т = \frac{v_{по \ теч.} - v_{против \ теч.}}{2} = \frac{36 - 24}{2} = \frac{12}{2} = 6$ (км/ч)

Таким образом, $v_{плота} = 6$ км/ч.

4. Теперь найдем время, за которое плоты проплывут 72 км:

$t_{плота} = \frac{S}{v_{плота}} = \frac{72}{6} = 12$ (ч)

Ответ: 12 часов.

2.209. Скорость течения равна $3 \text{ км/ч}$. На сколько километров в час скорость катера по течению больше скорости против течения?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_{с}$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_{т}$ – скорость течения реки.
• $v_{по\;т.}$ – скорость катера по течению.
• $v_{пр.\;т.}$ – скорость катера против течения.

Из условия задачи нам известно, что скорость течения равна 3 км/ч:

$v_{т} = 3$ км/ч

Скорость катера, когда он движется по течению, складывается из его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;т.} = v_{с} + v_{т}$

Скорость катера, когда он движется против течения, равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр.\;т.} = v_{с} - v_{т}$

Чтобы найти, на сколько километров в час скорость катера по течению больше скорости против течения, нужно найти разность этих скоростей:

$v_{по\;т.} - v_{пр.\;т.} = (v_{с} + v_{т}) - (v_{с} - v_{т})$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки внутри нее изменятся на противоположные:

$v_{с} + v_{т} - v_{с} + v_{т}$

Теперь приведем подобные слагаемые. Собственная скорость катера ($v_{с}$) сокращается:

$(v_{с} - v_{с}) + (v_{т} + v_{т}) = 0 + 2 \cdot v_{т} = 2 \cdot v_{т}$

Разница скоростей равна удвоенной скорости течения. Подставим известное значение $v_{т} = 3$ км/ч в полученное выражение:

$2 \cdot 3 = 6$ (км/ч)

Ответ: на 6 км/ч.

2.210. 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса «Аэрофлота» длиной 420 км. Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними?

Найдите скорость аэроплана.

Чтобы найти скорость аэроплана, нужно разделить пройденное расстояние на время, затраченное на полет. Формула для расчета скорости ($v$):
$v = \frac{S}{t}$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие данные:
Расстояние $S = 420$ км.
Время $t = 3$ ч $30$ мин.

Для проведения расчетов необходимо перевести время в единую единицу измерения — часы. Поскольку в одном часе 60 минут, 30 минут составляют $30 / 60 = 0,5$ часа.

Таким образом, общее время полета в часах равно: $t = 3 + 0,5 = 3,5$ ч.

Теперь подставим известные значения в формулу и вычислим скорость аэроплана:
$v = \frac{420 \text{ км}}{3,5 \text{ ч}} = 120$ км/ч.

Ответ: скорость аэроплана 120 км/ч.

Какие условия в задаче являются лишними?

Лишними (избыточными) условиями в задаче являются те данные, которые не требуются для решения и нахождения ответа на поставленный вопрос. Для вычисления скорости аэроплана мы использовали только два значения: расстояние (420 км) и время полета (3 ч 30 мин).

Следовательно, лишними в этой задаче являются следующие условия:
- дата полета: 15 июля 1923 года;
- название аэроплана: «Ультиматум»;
- маршрут полета: из Москвы в Нижний Новгород;
- историческая справка: открытие первой трассы «Аэрофлота»;
- высота полета: 250 м.

Ответ: лишними условиями являются дата, название аэроплана, маршрут, историческая справка и высота полета.