Страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.217. Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Арифметический (через скорость сближения)

1. Первым действием найдем, какое расстояние успел пройти первый юноша за один день, пока второй еще не начал свой путь. Это расстояние будет начальным преимуществом (форой) первого юноши.

$S_{фора} = 40 \text{ вёрст/день} \times 1 \text{ день} = 40 \text{ вёрст}$

2. Второй юноша движется быстрее первого, следовательно, он будет его догонять. Скорость, с которой второй юноша догоняет первого (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = 45 \text{ вёрст/день} - 40 \text{ вёрст/день} = 5 \text{ вёрст/день}$

Это означает, что каждый день второй юноша сокращает расстояние до первого на 5 вёрст.

3. Теперь, зная начальное расстояние и скорость сближения, мы можем найти время, за которое второй юноша догонит первого. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{40 \text{ вёрст}}{5 \text{ вёрст/день}} = 8 \text{ дней}$

Способ 2: Алгебраический (через составление уравнения)

Пусть $t$ — это количество дней, которое потребуется второму юноше, чтобы догнать первого. Поскольку первый юноша вышел на день раньше, к моменту встречи он будет в пути $(t + 1)$ дней.

К моменту, когда второй юноша догонит первого, они оба пройдут одинаковое расстояние от Москвы. Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$). Приравняем расстояния, пройденные обоими юношами:

$\text{Путь первого юноши} = \text{Путь второго юноши}$

$40 \times (t + 1) = 45 \times t$

Теперь решим полученное уравнение:

$40t + 40 = 45t$

$45t - 40t = 40$

$5t = 40$

$t = \frac{40}{5}$

$t = 8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 8 дней.

2.218. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — искомое расстояние от Москвы до Твери в вёрстах.
• $v_1$ — скорость первого поезда, равная $39$ вёрст в час.
• $v_2$ — скорость второго поезда, равная $26$ вёрст в час.
• $t_1$ — время в пути первого поезда в часах.
• $t_2$ — время в пути второго поезда в часах.

Расстояние, которое проехал каждый поезд, можно выразить через формулу $S = v \times t$. Таким образом, для первого поезда: $S = 39 \times t_1$. Для второго поезда: $S = 26 \times t_2$.

Из условия задачи известно, что первый поезд прибыл в Тверь на 2 часа раньше второго. Это означает, что время в пути первого поезда на 2 часа меньше, чем время в пути второго поезда: $t_2 = t_1 + 2$.

Поскольку оба поезда прошли одно и то же расстояние $S$, мы можем приравнять выражения для расстояния: $39 \times t_1 = 26 \times t_2$.

Теперь подставим в это равенство выражение для $t_2$: $39 \times t_1 = 26 \times (t_1 + 2)$.

Решим полученное уравнение относительно $t_1$: $39t_1 = 26t_1 + 52$ $39t_1 - 26t_1 = 52$ $13t_1 = 52$ $t_1 = 52 / 13$ $t_1 = 4$ часа.

Итак, время в пути первого поезда составило 4 часа. Теперь мы можем найти расстояние от Москвы до Твери, умножив скорость первого поезда на его время в пути: $S = 39 \text{ вёрст/час} \times 4 \text{ часа} = 156$ вёрст.

Для проверки можно найти время второго поезда ($t_2 = 4 + 2 = 6$ часов) и рассчитать расстояние для него: $S = 26 \text{ вёрст/час} \times 6 \text{ часов} = 156$ вёрст. Результаты совпадают.

Ответ: 156 вёрст.

2.219. Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, одновременно навстречу друг другу вышли товарный и скорый поезда. Товарный поезд может пройти это расстояние за 18 ч, а скорый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти скорость каждого поезда, их общую скорость сближения и, наконец, время до встречи.

1. Находим скорость товарного поезда.
Известно, что товарный поезд проходит расстояние $S = 900$ км за время $t_{товарный} = 18$ часов. Его скорость $v_{товарный}$ равна:
$v_{товарный} = \frac{S}{t_{товарный}} = \frac{900 \text{ км}}{18 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.

2. Находим скорость скорого поезда.
По условию, скорый поезд вдвое быстрее товарного. Значит, его скорость $v_{скорый}$ в два раза больше:
$v_{скорый} = v_{товарный} \times 2 = 50 \text{ км/ч} \times 2 = 100 \text{ км/ч}$.

3. Находим скорость сближения поездов.
Так как поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сближения}$ равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = v_{товарный} + v_{скорый} = 50 \text{ км/ч} + 100 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$.

4. Находим время до встречи.
Время, через которое поезда встретятся, можно рассчитать, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{900 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 6 \text{ часов}$.

Ответ: 6 часов.

2.220. а) Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся?

б) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода?

а)

1. Сначала найдем, какое расстояние проехал скорый поезд за 2 часа, пока пассажирский поезд еще не выехал. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_1 = v_1 \times t_1 = 80 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

2. Теперь вычислим, какое расстояние осталось между поездами к моменту выезда второго поезда. Для этого из общего расстояния вычтем путь, пройденный первым поездом:

$S_{ост} = S - S_1 = 720 \text{ км} - 160 \text{ км} = 560 \text{ км}$

3. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость их сближения:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

4. Чтобы найти время, через которое поезда встретятся (с момента выхода второго поезда), нужно разделить оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{560 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: через 4 часа после выхода второго поезда они встретятся.

б)

1. Сначала найдем, на какое расстояние пешеход удалился от села за 3 часа, пока не выехал велосипедист. Это расстояние будет начальной дистанцией между ними:

$S_{фора} = v_{пеш} \times t_{фора} = 4 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 12 \text{ км}$

2. Велосипедист догоняет пешехода, они движутся в одном направлении. Найдем скорость сближения, вычтя из большей скорости меньшую:

$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пеш} = 10 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$

3. Чтобы найти время, за которое велосипедист догонит пешехода, разделим начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{12 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: велосипедист догонит пешехода через 2 часа.

2.221. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти скорость зайца, найти скорость собаки, определить скорость сближения и, наконец, рассчитать время, за которое собака догонит зайца.

1. Определим скорость зайца.
Заяц пробегает 500 сажен за 2 минуты. Чтобы найти его скорость в саженях в минуту, разделим расстояние на время:
$v_{зайца} = \frac{500 \text{ сажен}}{2 \text{ мин}} = 250 \text{ сажен/мин}$

2. Определим скорость собаки.
Собака пробегает 1300 сажен за 5 минут. Ее скорость равна:
$v_{собаки} = \frac{1300 \text{ сажен}}{5 \text{ мин}} = 260 \text{ сажен/мин}$

3. Найдем скорость сближения.
Поскольку собака бежит быстрее зайца, она будет его догонять. Скорость сближения — это разница между скоростью собаки и скоростью зайца:
$v_{сближения} = v_{собаки} - v_{зайца} = 260 - 250 = 10 \text{ сажен/мин}$

4. Рассчитаем время погони.
Начальное расстояние между собакой и зайцем составляет 150 сажен. Чтобы найти время, за которое собака покроет это расстояние, нужно разделить его на скорость сближения:
$t = \frac{\text{Начальное расстояние}}{v_{сближения}} = \frac{150 \text{ сажен}}{10 \text{ сажен/мин}} = 15 \text{ мин}$

Таким образом, собаке потребуется 15 минут, чтобы догнать зайца.

Ответ: 15 минут.

2.222. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. Если он идёт вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идёт пассажир метро, если длина эскалатора 150 м?

Для решения этой задачи введем переменные:

• $L$ – длина эскалатора ($150$ м).
• $v_э$ – скорость эскалатора.
• $v_п$ – скорость пассажира относительно эскалатора (то, что нам нужно найти).
• $t_1$ – время подъема, когда пассажир стоит ($3$ мин).
• $t_2$ – время подъема, когда пассажир идет ($2$ мин).

Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Вычисление скорости эскалатора ($v_э$)

Когда пассажир стоит на эскалаторе, он преодолевает расстояние $L$ за время $t_1$ только за счет движения эскалатора. Следовательно, скорость эскалатора можно найти по формуле:

$v_э = \frac{L}{t_1}$

Подставим известные значения:

$v_э = \frac{150 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 50$ м/мин.

2. Вычисление общей скорости пассажира и эскалатора ($v_{общ}$)

Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли ($v_{общ}$) является суммой его собственной скорости ($v_п$) и скорости эскалатора ($v_э$):

$v_{общ} = v_п + v_э$

Мы можем рассчитать эту общую скорость, так как знаем, что пассажир преодолевает то же расстояние $L$ за время $t_2$:

$v_{общ} = \frac{L}{t_2}$

Подставим известные значения:

$v_{общ} = \frac{150 \text{ м}}{2 \text{ мин}} = 75$ м/мин.

3. Вычисление скорости пассажира ($v_п$)

Теперь, зная общую скорость и скорость эскалатора, мы можем найти скорость, с которой идет сам пассажир. Для этого из общей скорости вычтем скорость эскалатора:

$v_п = v_{общ} - v_э$

$v_п = 75 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 25$ м/мин.

При необходимости можно перевести эту скорость в более стандартные единицы измерения – метры в секунду (м/с), зная, что в одной минуте 60 секунд:

$v_п = \frac{25 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{5}{12} \text{ м/с} \approx 0,42$ м/с.

Ответ: скорость пассажира составляет $25$ м/мин, или приблизительно $0,42$ м/с.

2.223. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения 3 км/ч? Нет ли в задаче лишних данных?

Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода, которые приведут к одинаковому результату.

Способ 1: В системе отсчета, связанной с берегом (неподвижной)

1. Введем обозначения и запишем данные из условия:
Собственная скорость лодки $v_{л} = 8 \text{ км/ч}$.
Скорость течения $v_{т} = 3 \text{ км/ч}$.
Время движения $t = 15 \text{ мин}$.

2. Переведем время из минут в часы, чтобы все единицы были согласованы:
$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.

3. Лодка плывет против течения, поэтому ее скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{лодки} = v_{л} - v_{т} = 8 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$.

4. За 15 минут лодка уплыла от места, где была уронена шляпа, на расстояние:
$S_{лодки} = v_{лодки} \times t = 5 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 1.25 \text{ км}$.

5. Шляпа, упавшая в воду, неподвижна относительно воды и плывет со скоростью течения относительно берега:
$v_{шляпы} = v_{т} = 3 \text{ км/ч}$.

6. За 15 минут шляпу снесло течением от места падения на расстояние:
$S_{шляпы} = v_{шляпы} \times t = 3 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 0.75 \text{ км}$.

7. Лодка двигалась против течения, а шляпа — по течению. Они двигались в противоположных направлениях от точки падения. Следовательно, общее расстояние между ними равно сумме пройденных ими путей:
$S_{общ} = S_{лодки} + S_{шляпы} = 1.25 \text{ км} + 0.75 \text{ км} = 2 \text{ км}$.

Способ 2: В системе отсчета, связанной с водой (подвижной)

Этот способ проще. Если мы выберем систему отсчета, связанную с водой (например, будем наблюдать со спасательного круга, брошенного в воду), то в этой системе шляпа будет неподвижна. Лодка же будет двигаться относительно воды (и шляпы) со своей собственной скоростью $v_{л} = 8 \text{ км/ч}$.
Таким образом, скорость удаления лодки от шляпы равна собственной скорости лодки.

Найдем расстояние, на которое лодка удалилась от шляпы за $t = 0.25 \text{ ч}$:
$S = v_{л} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.

Ответ: В момент, когда папа заметил пропажу, лодка и шляпа находились на расстоянии 2 км друг от друга.

Нет ли в задаче лишних данных?

Да, в задаче есть лишние данные. Как показывает второй, более простой, способ решения, для определения расстояния между лодкой и шляпой достаточно знать только собственную скорость лодки и время. Скорость течения ($3 \text{ км/ч}$) оказывается избыточной, так как она одинаково влияет на движение и лодки, и шляпы относительно берега, но не влияет на их взаимное движение. Скорость их взаимного удаления всегда равна собственной скорости лодки, независимо от скорости течения и направления движения (по или против течения).

Ответ: Да, скорость течения (3 км/ч) является лишним данным.