Страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.242. Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников (рис. 129). Постройте на альбомном листе рисунок пчелиных сот.

Рис. 129

Задача состоит в том, чтобы нарисовать узор пчелиных сот, который представляет собой замощение (покрытие) плоскости правильными шестиугольниками. Для точного построения узора, как на рис. 129, удобнее всего воспользоваться циркулем и линейкой.

Пошаговая инструкция по построению

1. Шаг 1: Построение центральной соты

   Начните с построения одного правильного шестиугольника. Он будет основой всего узора.

   1. Начертите окружность произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$. Длина стороны шестиугольника будет равна этому радиусу.
   2. Выберите на окружности любую точку $A$.
   3. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным $R$), установите его иглу в точку $A$ и сделайте на окружности засечку — точку $B$.
   4. Переместите иглу в точку $B$ и повторите действие, чтобы получить точку $C$. Продолжайте так далее, чтобы найти все 6 вершин ($A, B, C, D, E, F$).
   5. Соедините линейкой точки $A, B, C, D, E, F$ по порядку. Вы получили первый правильный шестиугольник.
2. Шаг 2: Построение соседней соты

   Теперь к любой стороне первого шестиугольника нужно пристроить следующий.

   1. Возьмем сторону $AB$. Она будет общей для двух сот.
   2. Чтобы найти центр нового шестиугольника ($O_2$), установите циркуль с тем же радиусом $R$ в точки $A$ и $B$ поочередно и нарисуйте две пересекающиеся дуги с внешней стороны от первого шестиугольника. Точка их пересечения — это и есть центр $O_2$.
   3. Установите иглу циркуля в точку $O_2$ и начертите окружность радиусом $R$. Она пройдет через точки $A$ и $B$.
   4. На этой новой окружности найдите остальные четыре вершины, как в шаге 1, и соедините их, чтобы завершить второй шестиугольник.
3. Шаг 3: Заполнение плоскости

   Повторяйте Шаг 2 для других сторон уже нарисованных шестиугольников. Последовательно добавляя новые соты, вы можете заполнить всю необходимую область, создав рисунок пчелиных сот. Важно следить, чтобы в каждой вершине (точке соединения) сходились ровно три линии.

Вспомогательные линии и окружности после построения можно стереть, оставив только итоговый узор сот.

Ответ: Чтобы построить рисунок пчелиных сот, необходимо последовательно рисовать правильные шестиугольники, пристраивая каждый новый к стороне уже существующего. Наиболее точный метод — использование циркуля и линейки: сначала строится одна центральная сота-шестиугольник, а затем, используя её стороны как общие, достраиваются соседние, пока не будет заполнена вся нужная область.

2.243. Из листа фанеры размером 11 см × 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части.

Для того чтобы найти площадь оставшейся части листа фанеры, необходимо из его первоначальной площади вычесть общую площадь всех выпиленных фигур.

1. Сначала вычислим первоначальную площадь листа фанеры. Лист имеет форму прямоугольника с размерами 11 см × 15 см. Его площадь ($S_{фанеры}$) равна произведению сторон:

$S_{фанеры} = 11 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 165 \text{ см}^2$

2. Теперь вычислим общую площадь выпиленных фигур. Она складывается из площади двух квадратов и трех прямоугольников.

Площадь одного квадрата со стороной 5 см составляет:

$S_{квадрата} = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$

Так как выпилили два таких квадрата, их общая площадь:

$S_{2 \text{ кв.}} = 2 \times 25 \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$

Площадь одного прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см составляет:

$S_{прямоуг.} = 4 \text{ см} \times 7 \text{ см} = 28 \text{ см}^2$

Так как выпилили три таких прямоугольника, их общая площадь:

$S_{3 \text{ прямоуг.}} = 3 \times 28 \text{ см}^2 = 84 \text{ см}^2$

Общая площадь всех выпиленных фигур ($S_{выпилено}$) равна сумме площадей квадратов и прямоугольников:

$S_{выпилено} = S_{2 \text{ кв.}} + S_{3 \text{ прямоуг.}} = 50 \text{ см}^2 + 84 \text{ см}^2 = 134 \text{ см}^2$

3. Наконец, найдем площадь оставшейся части ($S_{остаток}$), вычтя из первоначальной площади фанеры общую площадь выпиленных фигур:

$S_{остаток} = S_{фанеры} - S_{выпилено} = 165 \text{ см}^2 - 134 \text{ см}^2 = 31 \text{ см}^2$

Ответ: $31 \text{ см}^2$

2.244. а) Определите периметр шестиугольника (рис. 130).

б) Определите площадь многоугольника (рис. 131).

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 131, а. Какое условие лишнее?

Рис. 129

4 см

9 см

Рис. 130

а) 2 см 7 см

4 см

9 см

б) 7 см

6 см

в) 13 см

5 см 17 см 5 см

Рис. 131

а) Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Фигура на рисунке 130 представляет собой шестиугольник. Две его стороны, определяющие максимальную ширину и высоту, равны 9 см и 4 см соответственно. Для такого прямоугольного многоугольника периметр можно вычислить как удвоенную сумму его максимальной ширины ($L$) и высоты ($H$).

Формула для расчета периметра:

$P = 2 \cdot (L + H)$

Подставим известные значения:

$P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}$

Ответ: 26 см.

б) Необходимо найти площади трех многоугольников, изображенных на рисунке 131.

Площадь многоугольника а):

Этот многоугольник можно разбить на два прямоугольника. Проведем вертикальное разделение.
Левый прямоугольник будет иметь размеры 7 см на 4 см. Его площадь $S_1 = 7 \cdot 4 = 28$ см².
Правый прямоугольник будет иметь ширину $9 \text{ см} - 7 \text{ см} = 2$ см и высоту $4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2$ см. Его площадь $S_2 = 2 \cdot 2 = 4$ см².
Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух прямоугольников:
$S_a = S_1 + S_2 = 28 + 4 = 32$ см².

Площадь многоугольника б):

Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7 см и основанием 6 см. Для нахождения площади по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, сначала найдем высоту $h$, опущенную на основание.
Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника – это высота $h$ и половина основания ($\frac{6}{2}=3$ см), а гипотенуза – боковая сторона (7 см).
По теореме Пифагора: $h^2 + 3^2 = 7^2$.
$h^2 + 9 = 49$.
$h^2 = 40$, следовательно, $h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$ см².

Площадь многоугольника в):

Это равнобедренная трапеция. Дано нижнее основание $b_1 = 17$ см, боковая сторона $l = 13$ см и проекция боковой стороны на нижнее основание $p = 5$ см.
Сначала найдем высоту трапеции $h$ из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и проекцией.
По теореме Пифагора: $h^2 + 5^2 = 13^2$.
$h^2 + 25 = 169$.
$h^2 = 144$, следовательно, $h = 12$ см.
Далее найдем верхнее основание $b_2$. Оно короче нижнего на две длины проекции: $b_2 = 17 - 5 - 5 = 7$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$:
$S_в = \frac{17 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$ см².

Ответ: площадь многоугольника а) равна 32 см², площадь многоугольника б) равна $6\sqrt{10}$ см², площадь многоугольника в) равна 144 см².

в) Сначала определим периметр многоугольника, изображенного на рисунке 131, а. Периметр – это сумма длин всех сторон.

Фигура имеет шесть сторон. Четыре из них даны: 9 см, 4 см, 7 см, 2 см. Найдем длины двух недостающих сторон.
Правая вертикальная сторона равна разности общей высоты и длины внутреннего вертикального отрезка: $4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2$ см.
Внутренняя горизонтальная сторона равна разности общей ширины и длины верхнего горизонтального отрезка: $9 \text{ см} - 7 \text{ см} = 2$ см.
Сложим длины всех шести сторон:
$P = 9 + 4 + 7 + 2 + 2 + 2 = 26$ см.

Теперь ответим на вопрос: "Какое условие лишнее?".
Как было показано в пункте а), периметр такого прямоугольного многоугольника зависит только от его максимальной ширины (9 см) и максимальной высоты (4 см).
$P = 2 \cdot (\text{ширина} + \text{высота}) = 2 \cdot (9 + 4) = 26$ см.
Этот расчет не использует значения внутренних сторон (7 см и 2 см). Это означает, что для нахождения периметра эти данные не нужны.
Следовательно, для вычисления периметра данной фигуры оба условия – длина 7 см и длина 2 см – являются лишними.

Ответ: периметр равен 26 см. Лишним условием является, например, длина стороны 7 см (также можно указать и длину стороны 2 см).