Страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.245. Как разрезать торт тремя прямыми так, чтобы получилось семь частей и на каждой из них была розочка (рис. 132)?

Рис. 132

Чтобы разрезать торт тремя прямыми линиями на семь частей так, чтобы в каждой части была одна розочка, необходимо расположить разрезы таким образом, чтобы они не были параллельны друг другу и не пересекались в одной точке. Такое расположение прямых делит плоскость на максимальное количество областей, а именно на семь: один центральный треугольник и шесть внешних областей.

Задача сводится к тому, чтобы расположить эти три прямые на торте так, чтобы каждая из семи розочек оказалась в своей отдельной части. Центральная розочка на торте должна оказаться внутри треугольника, образованного разрезами, а остальные шесть — в шести внешних областях.

Этого можно достичь следующим образом:

1. Первый разрез: Провести прямую линию с небольшим положительным наклоном так, чтобы она прошла между средним и нижним рядом розочек. Эта линия отделяет две нижние розочки от остальных пяти.
2. Второй разрез: Провести прямую с довольно крутым положительным наклоном так, чтобы она отделила крайний левый столбец розочек от центрального и правого.
3. Третий разрез: Провести прямую с довольно крутым отрицательным наклоном так, чтобы она отделила крайний правый столбеc розочек от центрального и левого.

Точное расположение линий должно быть таким, чтобы они образовывали небольшой треугольник вокруг центральной розочки. Каждая из остальных шести розочек окажется в одной из шести областей, окружающих этот центральный треугольник.

На рисунке ниже показана схема такого разреза:

При таком расположении разрезов торт будет разделен на семь кусков, и на каждом из них будет по одной розочке.

Ответ: Разрезы нужно сделать так, чтобы они образовали небольшой треугольник в центре торта, внутри которого окажется только одна центральная розочка. Остальные шесть розочек окажутся каждая в своей из шести внешних частей, образованных продолжением сторон этого треугольника.

2.246. Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая части после удара (рис. 133)?

Рис. 133

Да, можно. Это классическая задача на пространственное мышление. Решение заключается в следующем:

1. Первым ударом топора нужно разрубить подкову горизонтально, так, чтобы лезвие прошло через обе её ветви (ножки). После этого удара подкова будет состоять из трёх отдельных частей: двух небольших кончиков и одной большой основной дуги.

2. Вторым ударом, не меняя положения получившихся частей, нужно нанести удар вертикально, точно посередине изначальной подковы. Этот удар пройдёт одновременно через все три части, которые лежат в одной плоскости. В результате большая дуга разделится на две части, и каждый из двух отсечённых ранее кончиков также разделится на две части.

Таким образом, общее количество частей составит: 2 (от дуги) + 2 (от левого кончика) + 2 (от правого кончика) = 6 частей.

Математически это можно записать так: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: да, можно.

2.247. Улитка за день поднимается на 4 м, а за ночь опускается на 2 м. За сколько дней она поднимется на вершину столба высотой 8 м?

Для решения этой задачи нужно рассмотреть движение улитки по дням.

За одни полные сутки (день и ночь) улитка продвигается вверх на $4 - 2 = 2$ метра.

Распишем подъем улитки по дням:

1-й день:
В начале дня улитка находится на высоте 0 м.
За день она поднимается на 4 м. Высота в конце дня: $0 + 4 = 4$ м.
За ночь она опускается на 2 м. Высота на утро следующего дня: $4 - 2 = 2$ м.

2-й день:
В начале дня улитка находится на высоте 2 м.
За день она поднимается на 4 м. Высота в конце дня: $2 + 4 = 6$ м.
За ночь она опускается на 2 м. Высота на утро следующего дня: $6 - 2 = 4$ м.

3-й день:
В начале дня улитка находится на высоте 4 м.
За день она поднимается на 4 м. В этот момент ее высота становится $4 + 4 = 8$ м.
Улитка достигла вершины столба. Поскольку она уже на вершине, ночное сползание не учитывается.

Таким образом, улитка достигнет вершины на третий день.

Ответ: 3 дня.

2.248. Прямоугольник $4 \times 9$ разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Для того чтобы разрезать прямоугольник размером $4 \times 9$ на две части и сложить из них квадрат, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определение параметров квадрата

Сначала найдем площадь исходного прямоугольника. Площадь $S$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \times b$.

$S_{прямоугольника} = 4 \times 9 = 36$ квадратных единиц.

Так как квадрат будет сложен из тех же частей, его площадь будет такой же. Площадь квадрата со стороной $c$ равна $S = c^2$.

$S_{квадрата} = 36$

$c = \sqrt{36} = 6$

Следовательно, нам нужно получить квадрат со стороной 6.

2. Построение разреза

Чтобы из прямоугольника $4 \times 9$ получить квадрат $6 \times 6$, нужно уменьшить длинную сторону на $9 - 6 = 3$ единицы и увеличить короткую сторону на $6 - 4 = 2$ единицы. Это можно сделать с помощью ступенчатого разреза.

Разделим длинную сторону (9 единиц) на три равных отрезка по 3 единицы. Разделим короткую сторону (4 единицы) на два равных отрезка по 2 единицы.

Далее выполним разрез следующим образом:

1. Положите прямоугольник длинной стороной горизонтально.
2. Отступите от левого нижнего угла вправо на 3 единицы и сделайте вертикальный разрез вверх на 2 единицы.
3. От конца этого разреза сделайте горизонтальный разрез вправо на 3 единицы.
4. От конца второго разреза сделайте вертикальный разрез вверх на 2 единицы до верхней стороны прямоугольника.

В результате этого ступенчатого разреза прямоугольник разделится на две полностью одинаковые (конгруэнтные) части.

Визуально разрез можно представить так (где `*` - это линия разреза):

 +---------+ | *--| | * | |---*--+ | | * | +---+-----+

3. Сборка квадрата

Теперь нужно сложить из этих двух частей квадрат.

1. Возьмите правую часть, полученную после разреза.
2. Переместите (сдвиньте) ее на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.
3. Приложите ее к левой части. Ступенчатый выступ одной части войдет в соответствующую выемку другой.

В результате получится новая фигура. Проверим ее размеры:

• Ширина: Нижний край левой части имеет длину 3. Нижний край правой части также имеет длину 3, и после сдвига он образует правую часть нижнего края квадрата. Общая ширина составит $3+3=6$ единиц. Но правильнее посмотреть на общие габариты: левая часть имеет максимальную ширину 6, и сдвинутая правая часть также вписывается в эту ширину. Итоговая ширина - 6.
• Высота: Левый край левой части имеет высоту 4. Сдвинутая вверх на 2 единицы правая часть добавит высоты. Ее нижний край окажется на высоте 2, а верхний - на высоте $4+2=6$. Общая высота фигуры станет 6.

Таким образом, из двух полученных частей складывается квадрат размером $6 \times 6$.

Ответ: Прямоугольник $4 \times 9$ нужно разрезать ступенчатым разрезом, как описано выше, на две конгруэнтные части. Затем одну из частей нужно сдвинуть относительно другой, чтобы совместить их в квадрат $6 \times 6$.

2.249. Из прямоугольника $10 \times 7$ вырезали прямоугольник $1 \times 6$ (рис. 134). Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Рис. 134

Для решения этой задачи сначала определим площадь полученной фигуры. Изначально был прямоугольник размером $10 \times 7$, его площадь составляла $S_1 = 10 \times 7 = 70$ условных единиц (клеток). Из него вырезали прямоугольник $1 \times 6$, площадью $S_2 = 1 \times 6 = 6$ клеток.

Площадь полученной фигуры равна $S = S_1 - S_2 = 70 - 6 = 64$ клетки.

Чтобы из этой фигуры сложить квадрат, его площадь также должна быть равна 64 клеткам. Сторона такого квадрата будет равна $\sqrt{64} = 8$ клеток. Таким образом, наша цель — разрезать фигуру на две части и сложить из них квадрат $8 \times 8$.

Разрез должен быть сделан в виде ступенчатой линии. Опишем этот разрез, используя систему координат, где левый верхний угол — точка (0,0), первая координата — столбец (от 0 до 9), вторая — строка (от 0 до 6). Вырезанный прямоугольник (отверстие) находится в строке 3, в столбцах со 2 по 7.

Линия разреза проходит следующим образом:

1. Начинается на верхней границе фигуры, между столбцами 1 и 2.
2. Идет вертикально вниз на 3 клетки, доходя до уровня над отверстием.
3. Поворачивает направо и идет горизонтально на 6 клеток, проходя над отверстием.
4. Поворачивает вниз и идет до нижней границы фигуры.

Визуально это выглядит так (символом | или - обозначена линия разреза, H — отверстие):

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Строка 0: A A | B B B B B B | B BСтрока 1: A A | B B B B B B | B BСтрока 2: A A | B B B B B B | B B -----------Строка 3: A A | H H H H H H | B BСтрока 4: A A A A A A A A | B BСтрока 5: A A A A A A A A | B BСтрока 6: A A A A A A A A | B B

В результате получаются две части, которые условно назовем «сапог» (Часть А) и «перевернутый сапог» (Часть Б).

• Часть А (левая/нижняя): состоит из прямоугольника $2 \times 7$ (колонки 0-1) и примыкающего к нему снизу прямоугольника $6 \times 3$ (колонки 2-7, строки 4-6).
• Часть Б (правая/верхняя): состоит из прямоугольника $2 \times 7$ (колонки 8-9) и примыкающего к нему сверху прямоугольника $6 \times 3$ (колонки 2-7, строки 0-2).

Теперь, чтобы сложить квадрат $8 \times 8$, нужно взять Часть Б и переместить ее, приложив к Части А. Часть Б сдвигается на 2 клетки влево и на 4 клетки вверх.

Ниже показана схема сборки квадрата $8 \times 8$ из этих двух частей.

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7Строка 0: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 1: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 2: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 3: Б Б Б Б Б Б | А А -----------Строка 4: Б Б | А А А А А АСтрока 5: Б Б | А А А А А АСтрока 6: Б Б | А А А А А АСтрока 7: Б Б | А А А А А А

В этой схеме Часть А была повернута на 90 градусов против часовой стрелки и отражена, чтобы показать принцип стыковки. Более точная схема без поворотов будет выглядеть так:

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7Строка 0: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 1: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 2: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 3: А_г А_г | Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_вСтрока 4: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 5: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 6: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 7: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_в

Здесь `А_г` и `А_в` — горизонтальная и вертикальная части фигуры А, `Б_г` и `Б_в` — соответственно части фигуры Б. Эта схема показывает, что части действительно можно состыковать в квадрат $8 \times 8$.

Ответ: Фигуру нужно разрезать ступенчатой линией, как показано на первой схеме. Разрез начинается на верхней стороне между 2-м и 3-м столбцами, идет на 3 клетки вниз, затем на 6 клеток вправо (над отверстием) и затем на 4 клетки вниз до нижней стороны. Полученные две части можно сложить в квадрат $8 \times 8$.

2.250. Клетчатая бумага даёт представление о том, как можно рав- ными квадратами выложить плоскость. На рисунке 135 (с. 138) показаны способы, которыми укладывают кафельную плитку на пол или на стены. Плоскость можно выложить также равными прямоугольниками. На рисунке 136 показаны два способа по- крытия пола паркетом из равных прямоугольников. Придумайте ещё два своих паркета из равных прямоугольников.

Рис. 135

В задаче требуется придумать два способа укладки паркета из равных прямоугольников, которые отличаются от стандартных. Как правило, к стандартным способам относятся прямая укладка (когда плитки лежат ровными рядами без смещения) и укладка вразбежку (похожая на кирпичную кладку, со смещением в каждом ряду). Предложим два других распространённых и красивых способа укладки, которые можно использовать для паркета.

Этот узор также известен как «английская ёлка». Прямоугольные плашки укладываются зигзагом, стыкуясь друг с другом под прямым углом ($90^\circ$). Обычно короткая сторона (торец) одной плашки примыкает к длинной стороне другой. Вся кладка может быть расположена как параллельно стенам, так и по диагонали (под углом $45^\circ$ к стенам), что визуально расширяет пространство. Этот способ укладки создаёт на полу динамичный, V-образный рисунок, напоминающий иголки на еловой ветке.

Ответ: Один из возможных новых способов укладки паркета — узор «ёлочкой», при котором прямоугольные плашки стыкуются торцами с боковыми сторонами под прямым углом, образуя зигзагообразный рисунок.

Этот узор создаётся путём группировки нескольких прямоугольных плашек в квадратные блоки. Для этого удобно использовать плашки, у которых длина ($L$) кратна ширине ($W$), например, $L = 2W$ или $L = 3W$. Рассмотрим случай, когда $L = 2W$. Две плашки, уложенные рядом вдоль длинных сторон, образуют квадрат со стороной $L$. Такие квадратные блоки, состоящие из двух плашек, и служат элементами мозаики. Эти блоки укладываются так, что в соседних блоках плашки ориентированы перпендикулярно. Например, в одном блоке плашки лежат горизонтально, а в соседнем по горизонтали или вертикали — вертикально. В результате получается узор, напоминающий плетение ткани или корзины.

Ниже приведена схема укладки «плетёнка» для плашек с соотношением сторон $2:1$. Участки разных цветов обозначают соседние квадратные блоки с разной ориентацией плашек.

Ответ: Второй возможный способ укладки — узор «плетёнка», при котором несколько плашек объединяются в квадратные блоки, а сами блоки укладываются так, что направление плашек в них чередуется.