Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.13. Сформулируйте признаки делимости на 10, на 5, на 2.

на 10

Натуральное число делится на 10 без остатка тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0.

Это следует из того, что любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot a + b$, где $b$ — это последняя цифра числа (цифра в разряде единиц), а $a$ — число, составленное из всех остальных цифр. Например, для числа 123, $a=12$ и $b=3$, то есть $123 = 10 \cdot 12 + 3$. Слагаемое $10 \cdot a$ всегда делится на 10. Следовательно, для того чтобы число $N$ делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра $b$ делилась на 10. Единственная цифра, которая делится на 10, — это 0.

Ответ: Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.

на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 0 или 5.

Используем то же представление числа: $N = 10 \cdot a + b$. Слагаемое $10 \cdot a$ делится на 5, так как $10 = 2 \cdot 5$. Значит, чтобы число $N$ делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра $b$ делилась на 5. Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5.

Ответ: Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

на 2

Натуральное число делится на 2 без остатка (является чётным) тогда и только тогда, когда его запись оканчивается чётной цифрой, то есть одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Рассмотрим представление числа $N = 10 \cdot a + b$. Слагаемое $10 \cdot a$ делится на 2, так как $10 = 2 \cdot 5$. Таким образом, делимость числа $N$ на 2 полностью зависит от делимости его последней цифры $b$ на 2. Цифры, которые делятся на 2, — это 0, 2, 4, 6, 8.

Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра — чётная (0, 2, 4, 6 или 8).

3.14. Какое число называют чётным? Назовите 6 чётных чисел.

Какое число называют чётным?

Чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка. Это означает, что при делении такого числа на 2 в результате получается другое целое число. Любое чётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — любое целое число.
Например, число 10 является чётным, так как $10 : 2 = 5$.
Простой способ определить, является ли число чётным, — посмотреть на его последнюю цифру. Если число оканчивается на одну из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8, то оно является чётным.
Ответ: Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка.

Назовите 6 чётных чисел.

Исходя из определения, можно привести множество примеров чётных чисел. Ниже приведены шесть таких чисел:

• 4
• 16
• 38
• 90
• 112
• 500

Ответ: 4, 16, 38, 90, 112, 500.

3.15. Какое число называют нечётным? Назовите 7 нечётных чисел.

Какое число называют нечётным?

Нечётным называют целое число, которое не делится на 2 без остатка. Иными словами, при делении нечётного числа на 2 в остатке всегда получается 1.
В математике любое нечётное число n можно записать с помощью формулы: $n = 2k + 1$, где k — любое целое число.
Например, если $k=0$, то $n = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Если $k=5$, то $n = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.
В повседневной жизни нечётное число легко определить по его последней цифре. Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7 или 9, то оно является нечётным.
Ответ: Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1.

Назовите 7 нечётных чисел

Используя определение, можно назвать бесконечно много нечётных чисел. Вот несколько примеров:
Ответ: 1, 3, 5, 17, 49, 121, 2023.

2.3.16. Сформулируйте признаки делимости на 9, на 3.

Признак делимости на 9

Натуральное число делится на 9 без остатка (нацело) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Чтобы проверить, делится ли число на 9, нужно сложить все цифры этого числа. Если полученная сумма делится на 9, то и исходное число делится на 9. Если сумма цифр не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример 1: Проверим число 486. Сумма его цифр равна $4 + 8 + 6 = 18$. Поскольку 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 486 делится на 9 ($486 \div 9 = 54$).

Пример 2: Проверим число 1234. Сумма его цифр равна $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Поскольку 10 не делится на 9 без остатка, то и число 1234 не делится на 9.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 3

Натуральное число делится на 3 без остатка (нацело) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Этот признак очень похож на признак делимости на 9. Чтобы проверить, делится ли число на 3, нужно найти сумму всех его цифр. Если эта сумма делится на 3, то и само число делится на 3. В противном случае число на 3 не делится.

Пример 1: Проверим число 573. Сумма его цифр равна $5 + 7 + 3 = 15$. Поскольку 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), то и число 573 делится на 3 ($573 \div 3 = 191$).

Пример 2: Проверим число 712. Сумма его цифр равна $7 + 1 + 2 = 10$. Поскольку 10 не делится на 3 без остатка, то и число 712 не делится на 3.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

3.17. Какие из чисел 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440 делятся на:

а) $2$;

б) $5$;

в) $2$ и $5$;

г) $10$?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел для указанного списка: $128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440$.

а) 2

Число делится на $2$ без остатка, если его последняя цифра чётная, то есть $0, 2, 4, 6$ или $8$. В данном списке чисел выберем те, которые удовлетворяют этому правилу:

$128$ (оканчивается на $8$), $500$ (оканчивается на $0$), $506$ (оканчивается на $6$), $830$ (оканчивается на $0$), $962$ (оканчивается на $2$), $750$ (оканчивается на $0$), $1000$ (оканчивается на $0$), $1262$ (оканчивается на $2$), $2440$ (оканчивается на $0$).

Ответ: 128, 500, 506, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440.

б) 5

Число делится на $5$ без остатка, если его последняя цифра — $0$ или $5$. Выберем соответствующие числа из списка:

$325$ (оканчивается на $5$), $500$ (оканчивается на $0$), $725$ (оканчивается на $5$), $905$ (оканчивается на $5$), $830$ (оканчивается на $0$), $750$ (оканчивается на $0$), $1000$ (оканчивается на $0$), $2440$ (оканчивается на $0$).

Ответ: 325, 500, 725, 905, 830, 750, 1000, 2440.

в) 2 и 5

Чтобы число делилось одновременно и на $2$, и на $5$, оно должно удовлетворять обоим признакам делимости. Это означает, что его последняя цифра должна быть чётной (признак делимости на $2$) и при этом быть $0$ или $5$ (признак делимости на $5$). Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это $0$. Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на $0$.

Выберем такие числа из списка: $500, 830, 750, 1000, 2440$.

Ответ: 500, 830, 750, 1000, 2440.

г) 10?

Число делится на $10$ без остатка, если его последняя цифра — $0$. Этот признак эквивалентен признаку одновременной делимости на $2$ и $5$. Таким образом, мы ищем те же числа, что и в предыдущем пункте.

Выберем числа, оканчивающиеся на $0$: $500, 830, 750, 1000, 2440$.

Ответ: 500, 830, 750, 1000, 2440.

3.18. Напишите шесть чисел, которые делятся на:

а) 2;

б) 5;

в) 2 и 5;

г) 10.

а) Число делится на 2, если оно является четным. Признак делимости на 2 гласит, что последняя цифра числа должна быть четной (0, 2, 4, 6 или 8). Шесть чисел, которые делятся на 2:

Ответ: 8, 14, 72, 106, 550, 2024.

б) Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Шесть чисел, которые делятся на 5:

Ответ: 15, 30, 85, 100, 455, 3000.

в) Если число делится на 2 и 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 2 и 5 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: $2 \times 5 = 10$. Таким образом, число должно делиться на 10, а это значит, что оно должно оканчиваться на 0. Шесть чисел, которые делятся на 2 и 5:

Ответ: 10, 40, 90, 120, 600, 7850.

г) Число делится на 10, если его последняя цифра — 0. Это условие полностью совпадает с условием из предыдущего пункта. Шесть чисел, которые делятся на 10:

Ответ: 20, 50, 110, 300, 1000, 9990.

3.19. а) Напишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10.

б) Напишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 5.

в) Напишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2.

а)

Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0. Необходимо найти все такие числа в интервале от 15 до 95 включительно. Первым числом в этом диапазоне, которое больше 15 и оканчивается на 0, является 20. Далее, последовательно прибавляя 10, находим остальные числа, пока не выйдем за верхнюю границу диапазона (95). Получаем следующий ряд чисел: $20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$.

Ответ: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

б)

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Необходимо найти все такие числа в интервале от 23 до 46 включительно. Первым числом в этом диапазоне, которое больше 23 и удовлетворяет условию, является 25. Далее, последовательно прибавляя 5, находим остальные числа в заданном интервале. Получаем следующий ряд чисел: $25, 30, 35, 40, 45$.

Ответ: 25, 30, 35, 40, 45.

в)

Число делится на 2 без остатка, если оно является четным, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Необходимо найти все четные числа в интервале от 51 до 73 включительно. Первым четным числом, которое больше 51, является 52. Далее, последовательно прибавляя 2, находим все последующие четные числа, не превышающие 73. Получаем следующий ряд чисел: $52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72$.

Ответ: 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72.

3.20. С помощью цифр $2, 3, 5, 7$ (без повторения) запишите все четырёхзначные числа, которые делятся: а) на $2$; б) на $5$.

Для решения задачи необходимо использовать признаки делимости чисел на 2 и на 5, а также составить все возможные комбинации четырёхзначных чисел из заданных цифр {2, 3, 5, 7} без их повторения.

а) Числа, которые делятся на 2.

Согласно признаку делимости, число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Из набора цифр {2, 3, 5, 7} только цифра 2 является чётной. Следовательно, все искомые четырёхзначные числа должны оканчиваться на 2.

Таким образом, последняя цифра у всех чисел будет 2. Остальные три цифры (3, 5, 7) нужно расставить на первых трёх позициях. Количество возможных перестановок для трёх цифр равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим все возможные числа:

• 3572
• 3752
• 5372
• 5732
• 7352
• 7532

Ответ: 3572, 3752, 5372, 5732, 7352, 7532.

б) Числа, которые делятся на 5.

Согласно признаку делимости, число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из набора цифр {2, 3, 5, 7} этому условию удовлетворяет только цифра 5. Значит, все искомые числа должны оканчиваться на 5.

Последняя цифра фиксирована — это 5. Нам нужно расставить оставшиеся три цифры (2, 3, 7) на первых трёх позициях. Количество таких перестановок также равно $3! = 6$.

Перечислим все возможные числа:

• 2375
• 2735
• 3275
• 3725
• 7235
• 7325

Ответ: 2375, 2735, 3275, 3725, 7235, 7325.

3.21. Можно ли с помощью цифр 1, 2, 5, 6 (без повторения) составить трёхзначное число, которое делилось бы:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 5;

г) на 10?

а) на 2;

Для того чтобы число делилось на 2 без остатка, оно должно быть четным. Это означает, что его последняя цифра должна быть четной. Из предложенных цифр {1, 2, 5, 6} четными являются 2 и 6. Мы можем использовать одну из этих цифр в качестве последней цифры трехзначного числа. Например, если последняя цифра будет 2, то для первых двух позиций можно использовать оставшиеся цифры 1, 5, 6. Так можно составить число 152. Проверим: $152 \div 2 = 76$. Число 152 делится на 2. Другой пример: 612. Таким образом, составить требуемое число возможно.
Ответ: да, можно (например, 152).

б) на 3;

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Нам нужно выбрать три цифры из набора {1, 2, 5, 6} без повторения, чтобы их сумма была кратна 3. Рассмотрим все возможные комбинации из трех цифр:

• $1 + 2 + 5 = 8$ (8 не делится на 3)
• $1 + 2 + 6 = 9$ (9 делится на 3)
• $1 + 5 + 6 = 12$ (12 делится на 3)
• $2 + 5 + 6 = 13$ (13 не делится на 3)

Мы видим, что можно использовать наборы цифр {1, 2, 6} или {1, 5, 6}. Из набора {1, 2, 6} можно составить число 126. Проверим: $126 \div 3 = 42$. Число 126 делится на 3. Следовательно, составить такое число возможно.
Ответ: да, можно (например, 126).

в) на 5;

Число делится на 5, если его последняя цифра – 0 или 5. В нашем наборе цифр {1, 2, 5, 6} есть цифра 5. Мы можем поставить ее на последнее место в трехзначном числе. Для первых двух цифр можно использовать любые две из оставшихся {1, 2, 6}. Например, составим число 125. Оно заканчивается на 5, значит, делится на 5. Проверим: $125 \div 5 = 25$. Следовательно, составить такое число возможно.
Ответ: да, можно (например, 125).

г) на 10?

Число делится на 10, если его последняя цифра – 0. В предложенном наборе цифр {1, 2, 5, 6} нет цифры 0. Поэтому невозможно составить число, которое бы оканчивалось на 0. Следовательно, составить трехзначное число из данных цифр, которое делилось бы на 10, невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

3.22. Покажите, что чётные числа 18, 20, 48, 96 можно записать в виде $2 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Это означает, что любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число. В данном случае нам нужно показать, что для заданных чисел $k$ будет натуральным числом (то есть, целым и положительным).

Для числа 18:

Чтобы найти $k$, нужно разделить 18 на 2.

$18 = 2 \cdot k$

$k = 18 \div 2 = 9$

Число 9 является натуральным числом, поэтому представление $18 = 2 \cdot 9$ верное.

Ответ: $18 = 2 \cdot 9$, где $k=9$ — натуральное число.

Для числа 20:

Чтобы найти $k$, нужно разделить 20 на 2.

$20 = 2 \cdot k$

$k = 20 \div 2 = 10$

Число 10 является натуральным числом, поэтому представление $20 = 2 \cdot 10$ верное.

Ответ: $20 = 2 \cdot 10$, где $k=10$ — натуральное число.

Для числа 48:

Чтобы найти $k$, нужно разделить 48 на 2.

$48 = 2 \cdot k$

$k = 48 \div 2 = 24$

Число 24 является натуральным числом, поэтому представление $48 = 2 \cdot 24$ верное.

Ответ: $48 = 2 \cdot 24$, где $k=24$ — натуральное число.

Для числа 96:

Чтобы найти $k$, нужно разделить 96 на 2.

$96 = 2 \cdot k$

$k = 96 \div 2 = 48$

Число 48 является натуральным числом, поэтому представление $96 = 2 \cdot 48$ верное.

Ответ: $96 = 2 \cdot 48$, где $k=48$ — натуральное число.