Страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.62. Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами:

а) 32;

б) 62;

в) 51;

г) 100.

Чтобы записать число в виде произведения двух множителей, необходимо найти все его делители и сгруппировать их в пары так, чтобы их произведение было равно исходному числу. В данном случае мы будем рассматривать только натуральные (целые положительные) множители.

а) 32

Найдём все пары натуральных чисел, произведение которых равно 32. Будем последовательно проверять делители, начиная с 1.

$1 \cdot 32 = 32$

$2 \cdot 16 = 32$

$4 \cdot 8 = 32$

Следующий делитель числа 32 после 4 — это 8, который уже присутствует в паре $4 \cdot 8$. Это означает, что мы нашли все уникальные пары множителей.

Ответ: $1 \cdot 32$; $2 \cdot 16$; $4 \cdot 8$.

б) 62

Найдём все пары натуральных множителей для числа 62.

$1 \cdot 62 = 62$

$2 \cdot 31 = 62$

Число 31 является простым, поэтому других натуральных делителей у числа 62, кроме 1, 2, 31 и 62, нет. Следовательно, мы нашли все возможные пары.

Ответ: $1 \cdot 62$; $2 \cdot 31$.

в) 51

Найдём все пары натуральных множителей для числа 51.

$1 \cdot 51 = 51$

Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа 51 равна $5 + 1 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 51 делится на 3: $51 : 3 = 17$.

$3 \cdot 17 = 51$

Число 17 является простым, поэтому других пар множителей нет.

Ответ: $1 \cdot 51$; $3 \cdot 17$.

г) 100

Найдём все пары натуральных множителей для числа 100.

$1 \cdot 100 = 100$

$2 \cdot 50 = 100$

$4 \cdot 25 = 100$

$5 \cdot 20 = 100$

$10 \cdot 10 = 100$

Мы дошли до множителя 10, который является квадратным корнем из 100 ($ \sqrt{100}=10 $). Это означает, что все возможные пары множителей найдены.

Ответ: $1 \cdot 100$; $2 \cdot 50$; $4 \cdot 25$; $5 \cdot 20$; $10 \cdot 10$.

3.63. Разложите на простые множители число:

а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10 000; д) 100 000.

Решение.

100 000 | 2·5

10 000 | 2·5

1000 | 2·5

100 | 2·5

10 | 2·5

1 |

$100 000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^5$

а) Чтобы разложить число 10 на простые множители, необходимо найти простые числа, произведение которых равно 10. Начнем делить число 10 на наименьшее простое число, то есть на 2.
$10 : 2 = 5$
Результат, число 5, также является простым числом. Оно делится на 5.
$5 : 5 = 1$
Когда в результате деления получается 1, разложение окончено. Простые множители числа 10 — это 2 и 5.
$10 = 2 \cdot 5$
Ответ: $2 \cdot 5$.

б) Разложим на простые множители число 100.
$100 : 2 = 50$
$50 : 2 = 25$
Число 25 не делится на 2 и 3. Следующий простой делитель — 5.
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Следовательно, разложение числа 100 на простые множители выглядит так:
$100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$
Ответ: $2^2 \cdot 5^2$.

в) Разложим на простые множители число 1000.
$1000 : 2 = 500$
$500 : 2 = 250$
$250 : 2 = 125$
Число 125 не делится на 2 и 3. Следующий простой делитель — 5.
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Таким образом, получаем следующее разложение:
$1000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^3$
Ответ: $2^3 \cdot 5^3$.

г) Разложим на простые множители число 10 000.
$10~000 : 2 = 5000$
$5000 : 2 = 2500$
$2500 : 2 = 1250$
$1250 : 2 = 625$
Число 625 не делится на 2 и 3. Следующий простой делитель — 5.
$625 : 5 = 125$
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Запишем разложение в виде произведения степеней простых чисел:
$10~000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^4$
Ответ: $2^4 \cdot 5^4$.

д) Разложим на простые множители число 100 000.
$100~000 : 2 = 50~000$
$50~000 : 2 = 25~000$
$25~000 : 2 = 12~500$
$12~500 : 2 = 6~250$
$6~250 : 2 = 3~125$
Число 3125 оканчивается на 5, значит оно делится на 5.
$3~125 : 5 = 625$
$625 : 5 = 125$
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
В результате разложения мы получили пять множителей, равных 2, и пять множителей, равных 5.
$100~000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^5$
Ответ: $2^5 \cdot 5^5$.

3.64. Разложите на простые множители число:

а) 64;

б) 200;

в) 288;

г) 256;

д) 333;

е) 346;

ж) 512;

з) 8100;

и) 4096;

к) 2500;

л) 888;

м) 2525.

а) Чтобы разложить число 64 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьший простой делитель, которым является число 2.

$64 \div 2 = 32$
$32 \div 2 = 16$
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$

Таким образом, мы разделили 64 на 2 шесть раз. Разложение числа 64 на простые множители выглядит так: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Ответ: $64 = 2^6$.

б) Разложим число 200 на простые множители. Начинаем деление с наименьших простых чисел.

$200 \div 2 = 100$
$100 \div 2 = 50$
$50 \div 2 = 25$
Число 25 не делится на 2 и 3. Следующий простой делитель - 5.
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$

Разложение числа 200: $200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2$.
Ответ: $200 = 2^3 \cdot 5^2$.

в) Разложим число 288 на простые множители.

$288 \div 2 = 144$
$144 \div 2 = 72$
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
Число 9 не делится на 2. Следующий простой делитель - 3.
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$

Разложение числа 288: $288 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^2$.
Ответ: $288 = 2^5 \cdot 3^2$.

г) Разложим число 256 на простые множители. Это степень двойки.

$256 \div 2 = 128$
$128 \div 2 = 64$
$64 \div 2 = 32$
$32 \div 2 = 16$
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$

Разложение числа 256: $256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8$.
Ответ: $256 = 2^8$.

д) Разложим число 333 на простые множители. Сумма цифр $3+3+3=9$ делится на 3, значит и число делится на 3.

$333 \div 3 = 111$
Сумма цифр числа 111 ($1+1+1=3$) также делится на 3.
$111 \div 3 = 37$
Число 37 является простым.

Разложение числа 333: $333 = 3 \cdot 3 \cdot 37 = 3^2 \cdot 37$.
Ответ: $333 = 3^2 \cdot 37$.

е) Разложим число 346 на простые множители. Число четное, делим на 2.

$346 \div 2 = 173$
Проверим, является ли 173 простым числом. Для этого проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{173} \approx 13.1$, то есть на 3, 5, 7, 11, 13. Число 173 не делится ни на одно из них, следовательно, оно простое.

Разложение числа 346: $346 = 2 \cdot 173$.
Ответ: $346 = 2 \cdot 173$.

ж) Разложим число 512 на простые множители. Это степень двойки.

$512 \div 2 = 256$
$256 \div 2 = 128$
$128 \div 2 = 64$
$64 \div 2 = 32$
$32 \div 2 = 16$
$16 \div 2 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$

Разложение числа 512: $512 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^9$.
Ответ: $512 = 2^9$.

з) Разложим число 8100 на простые множители.

$8100 = 81 \cdot 100 = (9 \cdot 9) \cdot (10 \cdot 10) = (3^2 \cdot 3^2) \cdot ((2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)) = 3^4 \cdot 2^2 \cdot 5^2$.

Запишем множители в порядке возрастания: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.
Ответ: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

и) Разложим число 4096 на простые множители. Это степень двойки.

$4096 = 2^{12}$. Это можно проверить последовательным делением на 2.
$4096 \div 2 = 2048$
$2048 \div 2 = 1024$
$1024 = 2^{10}$, следовательно $4096 = 2^2 \cdot 2^{10} = 2^{12}$.

Разложение числа 4096: $4096 = 2^{12}$.
Ответ: $4096 = 2^{12}$.

к) Разложим число 2500 на простые множители.

$2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot 10^2 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 5^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 5^4$.

Разложение числа 2500: $2500 = 2^2 \cdot 5^4$.
Ответ: $2500 = 2^2 \cdot 5^4$.

л) Разложим число 888 на простые множители.

$888 \div 2 = 444$
$444 \div 2 = 222$
$222 \div 2 = 111$
Сумма цифр 111 равна 3, значит оно делится на 3.
$111 \div 3 = 37$
Число 37 является простым.

Разложение числа 888: $888 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 37 = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.
Ответ: $888 = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.

м) Разложим число 2525 на простые множители. Число заканчивается на 5, значит делится на 5.

$2525 \div 5 = 505$
$505 \div 5 = 101$
Число 101 является простым. Проверим его делимость на простые числа до $\sqrt{101} \approx 10$: 2, 3, 5, 7. Оно не делится ни на одно из них.

Разложение числа 2525: $2525 = 5 \cdot 5 \cdot 101 = 5^2 \cdot 101$.
Ответ: $2525 = 5^2 \cdot 101$.

3.65. Определите, является число простым или составным:

а) 89;

б) 123;

в) 279;

г) 335;

д) 642;

е) 601;

ж) 729;

з) 835;

и) 1571;

к) 2563;

л) 7777;

м) 442 233.

Для определения, является ли число простым или составным, необходимо проверить наличие у него делителей, отличных от 1 и самого себя. Простое число имеет только два делителя: 1 и само себя. Составное число имеет более двух делителей.

Для определения, является ли число 89 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{89}$.Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{89}$ находится между 9 и 10.Следовательно, нужно проверить делимость на простые числа до 9: 2, 3, 5, 7.

• Число 89 нечетное, значит не делится на 2.
• Сумма цифр $8+9=17$, 17 не делится на 3, значит 89 не делится на 3.
• Число не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5.
• При делении на 7: $89 = 7 \times 12 + 5$, значит не делится на 7.

Поскольку число 89 не имеет делителей среди простых чисел до $\sqrt{89}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 123, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $1+2+3=6$.Так как 6 делится на 3, то и само число 123 делится на 3.$123 = 3 \times 41$.Число 123 имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 3 и 41), следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 279, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $2+7+9=18$.Так как 18 делится и на 3, и на 9, то и само число 279 делится на 3 и на 9.$279 = 9 \times 31$.Число 279 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 335, используя признаки делимости. Число оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.$335 = 5 \times 67$.Число 335 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 642, используя признаки делимости. Число оканчивается на 2, следовательно, оно является четным и делится на 2.$642 = 2 \times 321$.Число 642 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Для определения, является ли число 601 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{601}$.Так как $24^2 = 576$ и $25^2 = 625$, то $\sqrt{601}$ находится между 24 и 25.Проверяем делимость на простые числа до 24: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

• Не делится на 2 (нечетное).
• Сумма цифр $6+0+1=7$, не делится на 3.
• Не оканчивается на 0 или 5.
• $601 \div 7 = 85$ (остаток 6).
• $601 \div 11 = 54$ (остаток 7).
• $601 \div 13 = 46$ (остаток 3).
• $601 \div 17 = 35$ (остаток 6).
• $601 \div 19 = 31$ (остаток 12).
• $601 \div 23 = 26$ (остаток 3).

Поскольку число 601 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{601}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 729, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $7+2+9=18$.Так как 18 делится на 9, то и само число 729 делится на 9.$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.Также $729=27^2$.Число 729 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 835, используя признаки делимости. Число оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.$835 = 5 \times 167$.Число 835 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Для определения, является ли число 1571 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{1571}$.Так как $39^2 = 1521$ и $40^2 = 1600$, то $\sqrt{1571}$ находится между 39 и 40.Проверяем делимость на простые числа до 39: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

• Не делится на 2, 3 (сумма цифр 14), 5.
• Деление на другие простые числа также дает остаток.

Поскольку число 1571 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{1571}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 2563 на делимость. Используем признак делимости на 11: найдем знакопеременную сумму цифр, начиная с последней: $3-6+5-2 = 0$.Так как результат (0) делится на 11, то и само число 2563 делится на 11.$2563 = 11 \times 233$.Число 2563 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Число 7777 можно представить в виде произведения:$7777 = 77 \times 101$ или $7777 = 7 \times 1111$.Число 7777 имеет делители (например, 7, 77, 101, 1111), отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 442 233, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $4+4+2+2+3+3=18$.Так как 18 делится на 3 и на 9, то и само число 442 233 делится на 3 и на 9.$442233 = 3 \times 147411$.Число 442 233 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

3.66. а) Подберите такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$.

б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$?

в) Можно ли подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство: $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$?

а)

Рассмотрим уравнение $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$, где $a$ и $b$ – натуральные числа (т.е. $a \ge 1$, $b \ge 1$).

Заметим, что все члены уравнения (и $3a$, и $6b$, и 1998) делятся на 3. Проверим делимость 1998 на 3 по сумме цифр: $1+9+9+8=27$. Так как 27 делится на 3, то и 1998 делится на 3.

Разделим обе части равенства на 3, чтобы упростить его:

$ \frac{3a + 6b}{3} = \frac{1998}{3} $

$ a + 2b = 666 $

Теперь нужно подобрать пару натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению. Выразим $a$ через $b$:

$ a = 666 - 2b $

Поскольку $a$ и $b$ должны быть натуральными, мы можем выбрать любое натуральное значение для $b$ такое, чтобы $a$ также было натуральным числом. То есть $a = 666 - 2b \ge 1$.

Возьмем самое простое значение для $b$, например, $b=1$. Тогда:

$ a = 666 - 2 \cdot 1 = 664 $

Мы получили пару натуральных чисел: $a=664$ и $b=1$.

Сделаем проверку, подставив эти значения в исходное уравнение:

$ 3 \cdot 664 + 6 \cdot 1 = 1992 + 6 = 1998 $

Равенство выполняется. Существует множество других решений, например, при $b=2$ получается $a = 666 - 2 \cdot 2 = 662$.

Ответ: Например, $a=664$ и $b=1$.

б)

Рассмотрим равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$.

В левой части равенства ($3a + 6b$) оба слагаемых делятся на 3. Это значит, что мы можем вынести общий множитель 3 за скобки:

$ 3a + 6b = 3(a + 2b) $

Поскольку $a$ и $b$ – натуральные числа, то выражение в скобках $(a + 2b)$ также является натуральным числом. Следовательно, вся левая часть равенства, $3(a+2b)$, представляет собой число, которое делится на 3 без остатка (кратно 3).

Теперь рассмотрим правую часть равенства – число 1999. Чтобы проверить, делится ли оно на 3, воспользуемся признаком делимости на 3 и сложим его цифры:

$ 1 + 9 + 9 + 9 = 28 $

Число 28 не делится на 3, а значит, и 1999 не делится на 3.

В итоге мы получаем противоречие: левая часть равенства $3(a + 2b)$ всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится. Равенство между ними невозможно ни при каких натуральных (и даже целых) значениях $a$ и $b$.

Ответ: Нельзя, так как левая часть равенства ($3a+6b$) всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится.

в)

Рассмотрим равенство $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$.

Применим тот же метод, что и в пункте б), основанный на признаках делимости. Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $a$ и $b$.

$18 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9$

$81 = 3^4 = 9 \cdot 9$

НОД(18, 81) = 9. Это означает, что левая часть равенства всегда делится на 9. Вынесем 9 за скобки:

$ 18a + 81b = 9(2a + 9b) $

Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, то вся левая часть является числом, кратным 9.

Теперь проверим, делится ли на 9 правая часть равенства – число 996. Воспользуемся признаком делимости на 9 и найдем сумму его цифр:

$ 9 + 9 + 6 = 24 $

Сумма цифр 24 не делится на 9, следовательно, и число 996 не делится на 9.

Таким образом, мы снова приходим к противоречию: левая часть равенства ($18a+81b$) всегда делится на 9, а правая часть (996) на 9 не делится. Следовательно, подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$ невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.

$3.67.$

a) Представьте число $8$ в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна $8$.

б) Представьте число $35$ в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна $35$.

а) Нам нужно найти несколько чисел (множителей), произведение которых равно 8, а их сумма также равна 8.

Для этого сначала разложим число 8 на множители, которые больше 1. Например, возьмем множители 4 и 2.

Их произведение равно $4 \cdot 2 = 8$.

Найдем их сумму: $4 + 2 = 6$.

Полученная сумма (6) меньше требуемой (8). Чтобы увеличить сумму до 8, не изменяя при этом произведение, мы можем добавить в набор множителей единицы. Разница между требуемой и полученной суммой составляет $8 - 6 = 2$. Следовательно, нам нужно добавить два множителя, равных 1.

Таким образом, искомый набор чисел: 4, 2, 1, 1.

Проверим:
Произведение: $4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 8$.
Сумма: $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: Число 8 можно представить как произведение чисел 4, 2, 1 и 1.

б) Нам нужно найти несколько чисел (множителей), произведение которых равно 35, а их сумма также равна 35.

Сначала разложим число 35 на множители, которые больше 1. Единственный такой вариант (не считая порядка множителей) — это 5 и 7.

Их произведение равно $5 \cdot 7 = 35$.

Найдем их сумму: $5 + 7 = 12$.

Полученная сумма (12) меньше требуемой (35). Разница составляет $35 - 12 = 23$. Аналогично предыдущему пункту, чтобы увеличить сумму до 35, не изменяя произведение, нужно добавить 23 множителя, равных 1.

Таким образом, искомый набор чисел: 5, 7 и двадцать три единицы.

Проверим:
Произведение: $5 \cdot 7 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{23 \text{ раз}} = 35$.
Сумма: $5 + 7 + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{23 \text{ раз}} = 12 + 23 = 35$.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: Число 35 можно представить как произведение чисел 5, 7 и двадцати трех множителей, равных 1.

3.68. a) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая своё мнение, он приводит примеры:

$3 = 2 + 1, 2 \cdot 1 = 2$ — простое число,

$5 = 3 + 1 + 1, 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ — простое число и т. п. Приведите контрпример, показывающий, что Вася не прав.

б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?

Утверждение Васи: любое простое число $P$ можно представить в виде суммы натуральных чисел $P = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, произведение которых $\Pi = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ также является простым числом.

Рассмотрим, каким должно быть произведение натуральных чисел, чтобы оно являлось простым числом. Простое число $q$ по определению имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Если в произведении $n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ есть хотя бы два множителя, больших единицы, то произведение будет составным. Если все множители равны 1, то произведение равно 1, что не является простым числом. Следовательно, чтобы произведение было простым числом $q$, ровно один из множителей (например, $n_1$) должен быть равен $q$, а все остальные множители ($n_2, \dots, n_k$) должны быть равны 1.

Таким образом, набор слагаемых в сумме должен быть вида $\{q, 1, 1, \dots, 1\}$, где $q$ — некоторое простое число.

Примеры, которые приводит Вася ($3=2+1$, $5=3+1+1$), состоят из двух и более слагаемых. Это означает, что в сумме $P = q + 1 + \dots + 1$ должна быть хотя бы одна единица. Это условие эквивалентно тому, что $P > q$. То есть, согласно гипотезе Васи, для любого простого числа $P$ должно существовать простое число $q$, которое меньше $P$.

Это утверждение верно для всех простых чисел, кроме самого маленького. Рассмотрим простое число $P=2$. Для него не существует простого числа $q$, которое было бы меньше 2. Значит, представить 2 в виде суммы $q + 1 + \dots + 1$ невозможно.

Единственный способ представить число 2 в виде суммы двух или более натуральных чисел — это $2 = 1+1$. В этом случае произведение слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$, а 1 не является простым числом. Таким образом, для числа 2 утверждение Васи не выполняется.

Ответ: Контрпримером является простое число 2. Его можно представить в виде суммы натуральных чисел только как $1+1$, но произведение $1 \cdot 1 = 1$ не является простым числом.

Как мы выяснили в пункте а), утверждение Васи неверно только для одного простого числа — для двойки. Для всех остальных простых чисел (то есть для всех нечетных простых чисел) оно справедливо.

Докажем это. Пусть $P$ — любое простое число, большее 2. Поскольку $P$ — простое и $P>2$, оно является нечетным. Мы можем представить $P$ в следующем виде:

$P = 2 + (P-2)$

Так как $P$ нечетное и $P \ge 3$, то $P-2$ — это натуральное число ($P-2 \ge 1$). Мы можем записать $P-2$ как сумму $P-2$ единиц:

$P = 2 + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{P-2 \text{ раз}}$

Эта запись представляет $P$ в виде суммы натуральных чисел. Количество слагаемых в этой сумме равно $1+(P-2) = P-1 \ge 2$, то есть их больше одного.

Произведение этих слагаемых равно:

$2 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{P-2 \text{ раз}} = 2$

Число 2 является простым. Таким образом, для любого простого числа $P > 2$ мы нашли требуемое представление. Чтобы утверждение Васи стало верным, нужно исключить из него число 2.

Ответ: Утверждение нужно исправить, указав, что оно относится не ко всем простым числам. Верная формулировка: "Любое простое число, кроме 2, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом". Альтернативная верная формулировка: "Любое нечетное простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом".