Номер 3.68, страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.68. a) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая своё мнение, он приводит примеры:

$3 = 2 + 1, 2 \cdot 1 = 2$ — простое число,

$5 = 3 + 1 + 1, 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ — простое число и т. п. Приведите контрпример, показывающий, что Вася не прав.

б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?

Утверждение Васи: любое простое число $P$ можно представить в виде суммы натуральных чисел $P = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, произведение которых $\Pi = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ также является простым числом.

Рассмотрим, каким должно быть произведение натуральных чисел, чтобы оно являлось простым числом. Простое число $q$ по определению имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Если в произведении $n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ есть хотя бы два множителя, больших единицы, то произведение будет составным. Если все множители равны 1, то произведение равно 1, что не является простым числом. Следовательно, чтобы произведение было простым числом $q$, ровно один из множителей (например, $n_1$) должен быть равен $q$, а все остальные множители ($n_2, \dots, n_k$) должны быть равны 1.

Таким образом, набор слагаемых в сумме должен быть вида $\{q, 1, 1, \dots, 1\}$, где $q$ — некоторое простое число.

Примеры, которые приводит Вася ($3=2+1$, $5=3+1+1$), состоят из двух и более слагаемых. Это означает, что в сумме $P = q + 1 + \dots + 1$ должна быть хотя бы одна единица. Это условие эквивалентно тому, что $P > q$. То есть, согласно гипотезе Васи, для любого простого числа $P$ должно существовать простое число $q$, которое меньше $P$.

Это утверждение верно для всех простых чисел, кроме самого маленького. Рассмотрим простое число $P=2$. Для него не существует простого числа $q$, которое было бы меньше 2. Значит, представить 2 в виде суммы $q + 1 + \dots + 1$ невозможно.

Единственный способ представить число 2 в виде суммы двух или более натуральных чисел — это $2 = 1+1$. В этом случае произведение слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$, а 1 не является простым числом. Таким образом, для числа 2 утверждение Васи не выполняется.

Ответ: Контрпримером является простое число 2. Его можно представить в виде суммы натуральных чисел только как $1+1$, но произведение $1 \cdot 1 = 1$ не является простым числом.

Как мы выяснили в пункте а), утверждение Васи неверно только для одного простого числа — для двойки. Для всех остальных простых чисел (то есть для всех нечетных простых чисел) оно справедливо.

Докажем это. Пусть $P$ — любое простое число, большее 2. Поскольку $P$ — простое и $P>2$, оно является нечетным. Мы можем представить $P$ в следующем виде:

$P = 2 + (P-2)$

Так как $P$ нечетное и $P \ge 3$, то $P-2$ — это натуральное число ($P-2 \ge 1$). Мы можем записать $P-2$ как сумму $P-2$ единиц:

$P = 2 + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{P-2 \text{ раз}}$

Эта запись представляет $P$ в виде суммы натуральных чисел. Количество слагаемых в этой сумме равно $1+(P-2) = P-1 \ge 2$, то есть их больше одного.

Произведение этих слагаемых равно:

$2 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{P-2 \text{ раз}} = 2$

Число 2 является простым. Таким образом, для любого простого числа $P > 2$ мы нашли требуемое представление. Чтобы утверждение Васи стало верным, нужно исключить из него число 2.

Ответ: Утверждение нужно исправить, указав, что оно относится не ко всем простым числам. Верная формулировка: "Любое простое число, кроме 2, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом". Альтернативная верная формулировка: "Любое нечетное простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом".