Номер 3.65, страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.65. Определите, является число простым или составным:

а) 89;

б) 123;

в) 279;

г) 335;

д) 642;

е) 601;

ж) 729;

з) 835;

и) 1571;

к) 2563;

л) 7777;

м) 442 233.

Для определения, является ли число простым или составным, необходимо проверить наличие у него делителей, отличных от 1 и самого себя. Простое число имеет только два делителя: 1 и само себя. Составное число имеет более двух делителей.

Для определения, является ли число 89 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{89}$.Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{89}$ находится между 9 и 10.Следовательно, нужно проверить делимость на простые числа до 9: 2, 3, 5, 7.

• Число 89 нечетное, значит не делится на 2.
• Сумма цифр $8+9=17$, 17 не делится на 3, значит 89 не делится на 3.
• Число не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5.
• При делении на 7: $89 = 7 \times 12 + 5$, значит не делится на 7.

Поскольку число 89 не имеет делителей среди простых чисел до $\sqrt{89}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 123, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $1+2+3=6$.Так как 6 делится на 3, то и само число 123 делится на 3.$123 = 3 \times 41$.Число 123 имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 3 и 41), следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 279, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $2+7+9=18$.Так как 18 делится и на 3, и на 9, то и само число 279 делится на 3 и на 9.$279 = 9 \times 31$.Число 279 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 335, используя признаки делимости. Число оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.$335 = 5 \times 67$.Число 335 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 642, используя признаки делимости. Число оканчивается на 2, следовательно, оно является четным и делится на 2.$642 = 2 \times 321$.Число 642 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Для определения, является ли число 601 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{601}$.Так как $24^2 = 576$ и $25^2 = 625$, то $\sqrt{601}$ находится между 24 и 25.Проверяем делимость на простые числа до 24: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

• Не делится на 2 (нечетное).
• Сумма цифр $6+0+1=7$, не делится на 3.
• Не оканчивается на 0 или 5.
• $601 \div 7 = 85$ (остаток 6).
• $601 \div 11 = 54$ (остаток 7).
• $601 \div 13 = 46$ (остаток 3).
• $601 \div 17 = 35$ (остаток 6).
• $601 \div 19 = 31$ (остаток 12).
• $601 \div 23 = 26$ (остаток 3).

Поскольку число 601 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{601}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 729, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $7+2+9=18$.Так как 18 делится на 9, то и само число 729 делится на 9.$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.Также $729=27^2$.Число 729 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 835, используя признаки делимости. Число оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.$835 = 5 \times 167$.Число 835 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Для определения, является ли число 1571 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{1571}$.Так как $39^2 = 1521$ и $40^2 = 1600$, то $\sqrt{1571}$ находится между 39 и 40.Проверяем делимость на простые числа до 39: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

• Не делится на 2, 3 (сумма цифр 14), 5.
• Деление на другие простые числа также дает остаток.

Поскольку число 1571 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{1571}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Проверим число 2563 на делимость. Используем признак делимости на 11: найдем знакопеременную сумму цифр, начиная с последней: $3-6+5-2 = 0$.Так как результат (0) делится на 11, то и само число 2563 делится на 11.$2563 = 11 \times 233$.Число 2563 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Число 7777 можно представить в виде произведения:$7777 = 77 \times 101$ или $7777 = 7 \times 1111$.Число 7777 имеет делители (например, 7, 77, 101, 1111), отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.

Проверим число 442 233, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $4+4+2+2+3+3=18$.Так как 18 делится на 3 и на 9, то и само число 442 233 делится на 3 и на 9.$442233 = 3 \times 147411$.Число 442 233 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное.