Номер 3.69, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.69. а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.

б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?

в) Известно, что число $a$ делится нацело на число $b$. Чему равен $\text{НОД}(a, b)$?

Взаимно простыми называют два натуральных числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Это означает, что у таких чисел нет общих делителей, кроме единицы.

Примеры взаимно простых чисел:

• Числа 8 и 15. Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}. Делители числа 15: {1, 3, 5, 15}. Их единственный общий делитель – это 1. Следовательно, НОД(8, 15) = 1.
• Числа 9 и 10. Делители числа 9: {1, 3, 9}. Делители числа 10: {1, 2, 5, 10}. Их единственный общий делитель – 1. Следовательно, НОД(9, 10) = 1.
• Любые два различных простых числа, например, 7 и 11. Их единственный общий делитель – 1. Следовательно, НОД(7, 11) = 1.

Ответ: Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1. Примеры: 8 и 15; 9 и 10; 7 и 11.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел по определению равен 1.

Ответ: 1.

Если число $a$ делится нацело на число $b$, это означает, что $b$ является делителем числа $a$. Нам нужно найти наибольший общий делитель этих чисел, то есть НОД$(a, b)$.

По определению, НОД – это самое большое число, на которое делятся и $a$, и $b$.

1. Все делители числа $b$ также являются делителями числа $a$. (Если $d$ делит $b$, то $b=k \cdot d$. А так как $a=m \cdot b$, то $a=m \cdot (k \cdot d) = (m \cdot k) \cdot d$, то есть $d$ делит и $a$).
2. Значит, множество общих делителей чисел $a$ и $b$ совпадает с множеством делителей числа $b$.
3. Наибольшим делителем числа $b$ является само число $b$.
Следовательно, $b$ и есть наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$.

Например, если $a = 24$ и $b = 6$. Число 24 делится на 6.
Делители $b=6$: {1, 2, 3, 6}.
Делители $a=24$: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Общие делители: {1, 2, 3, 6}. Наибольший из них – 6.
Таким образом, НОД$(24, 6) = 6 = b$.

Ответ: $b$.