Страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.69. а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.

б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?

в) Известно, что число $a$ делится нацело на число $b$. Чему равен $\text{НОД}(a, b)$?

Взаимно простыми называют два натуральных числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Это означает, что у таких чисел нет общих делителей, кроме единицы.

Примеры взаимно простых чисел:

• Числа 8 и 15. Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}. Делители числа 15: {1, 3, 5, 15}. Их единственный общий делитель – это 1. Следовательно, НОД(8, 15) = 1.
• Числа 9 и 10. Делители числа 9: {1, 3, 9}. Делители числа 10: {1, 2, 5, 10}. Их единственный общий делитель – 1. Следовательно, НОД(9, 10) = 1.
• Любые два различных простых числа, например, 7 и 11. Их единственный общий делитель – 1. Следовательно, НОД(7, 11) = 1.

Ответ: Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1. Примеры: 8 и 15; 9 и 10; 7 и 11.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел по определению равен 1.

Ответ: 1.

Если число $a$ делится нацело на число $b$, это означает, что $b$ является делителем числа $a$. Нам нужно найти наибольший общий делитель этих чисел, то есть НОД$(a, b)$.

По определению, НОД – это самое большое число, на которое делятся и $a$, и $b$.

1. Все делители числа $b$ также являются делителями числа $a$. (Если $d$ делит $b$, то $b=k \cdot d$. А так как $a=m \cdot b$, то $a=m \cdot (k \cdot d) = (m \cdot k) \cdot d$, то есть $d$ делит и $a$).
2. Значит, множество общих делителей чисел $a$ и $b$ совпадает с множеством делителей числа $b$.
3. Наибольшим делителем числа $b$ является само число $b$.
Следовательно, $b$ и есть наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$.

Например, если $a = 24$ и $b = 6$. Число 24 делится на 6.
Делители $b=6$: {1, 2, 3, 6}.
Делители $a=24$: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Общие делители: {1, 2, 3, 6}. Наибольший из них – 6.
Таким образом, НОД$(24, 6) = 6 = b$.

Ответ: $b$.

3.70. Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60.

Найдите все делители чисел 45 и 60.

Делитель числа — это целое число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, будем последовательно проверять числа и находить пары множителей.

Для числа 45:
$45 = 1 \cdot 45$
$45 = 3 \cdot 15$
$45 = 5 \cdot 9$
Все делители числа 45, перечисленные в порядке возрастания: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Для числа 60:
$60 = 1 \cdot 60$
$60 = 2 \cdot 30$
$60 = 3 \cdot 20$
$60 = 4 \cdot 15$
$60 = 5 \cdot 12$
$60 = 6 \cdot 10$
Все делители числа 60, перечисленные в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Ответ: Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Найдите все общие делители чисел 45 и 60.

Общие делители — это числа, которые являются делителями для обоих чисел одновременно. Чтобы их найти, сравним списки делителей, полученные в предыдущем пункте.

Делители числа 45: $D(45) = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Делители числа 60: $D(60) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$.

Сравнивая эти два множества, находим числа, которые есть в обоих: 1, 3, 5, 15.

Ответ: 1, 3, 5, 15.

3.71. Найдите:

а) $НОД (30, 36);$

б) $НОД (50, 45);$

в) $НОД (42, 48);$

г) $НОД (120, 150);$

д) $НОД (124, 93);$

е) $НОД (46, 69).$

а) НОД (30, 36);

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 30 и 36, разложим их на простые множители.

Разложение числа 30 на простые множители:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 36 на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

Для нахождения НОД нужно выбрать общие простые множители в их наименьших степенях и перемножить их.

Общие множители: 2 и 3.

Наименьшая степень для 2 это $2^1$.

Наименьшая степень для 3 это $3^1$.

НОД(30, 36) = $2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

б) НОД (50, 45);

Разложим числа 50 и 45 на простые множители.

Разложение числа 50:

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Разложение числа 45:

$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Единственный общий простой множитель - это 5. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, - первая ($5^1$).

Следовательно, НОД(50, 45) = 5.

Ответ: 5

в) НОД (42, 48);

Разложим числа 42 и 48 на простые множители.

Разложение числа 42:

$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 48:

$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$

Общими простыми множителями являются 2 и 3. Возьмем их в наименьших степенях: $2^1$ и $3^1$.

Перемножим их:

НОД(42, 48) = $2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

г) НОД (120, 150);

Разложим числа 120 и 150 на простые множители.

Разложение числа 120:

$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 150:

$150 = 10 \cdot 15 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Общими простыми множителями являются 2, 3 и 5. Возьмем их в наименьших степенях: $2^1$, $3^1$, $5^1$.

Перемножим их:

НОД(120, 150) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

д) НОД (124, 93);

Разложим числа 124 и 93 на простые множители.

Разложение числа 124:

$124 = 2 \cdot 62 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$

Разложение числа 93:

$93 = 3 \cdot 31$

Единственным общим простым множителем является 31.

Следовательно, НОД(124, 93) = 31.

Ответ: 31

е) НОД (46, 69).

Разложим числа 46 и 69 на простые множители.

Разложение числа 46:

$46 = 2 \cdot 23$

Разложение числа 69:

$69 = 3 \cdot 23$

Единственным общим простым множителем является 23.

Следовательно, НОД(46, 69) = 23.

Ответ: 23

3.72. Найдите:

а) $НОД(24, 48)$;

б) $НОД(62, 31)$;

в) $НОД(132, 11)$;

г) $НОД(256, 32)$;

д) $НОД(45, 15)$;

е) $НОД(21, 63)$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 24 и 48, нужно найти самое большое число, на которое делятся и 24, и 48 без остатка.
Заметим, что число 48 делится на 24:
$48 \div 24 = 2$.
Это означает, что 24 является делителем числа 48. Также 24 является наибольшим возможным делителем для самого себя. Следовательно, 24 является наибольшим общим делителем для чисел 24 и 48.
Ответ: 24.

б) Найдем НОД для чисел 62 и 31.
Проверим, делится ли большее число на меньшее:
$62 \div 31 = 2$.
Так как 62 делится на 31 нацело, то 31 является их общим делителем. Поскольку никакой делитель числа 31 не может быть больше самого числа 31, то 31 и есть их наибольший общий делитель.
Ответ: 31.

в) Найдем НОД для чисел 132 и 11.
Проверим делимость 132 на 11:
$132 \div 11 = 12$.
Поскольку 132 делится на 11 без остатка, 11 является общим делителем. Так как 11 — это наибольший делитель для самого себя, то он и будет наибольшим общим делителем для пары чисел 132 и 11.
Ответ: 11.

г) Найдем НОД для чисел 256 и 32.
Проверим, делится ли 256 на 32:
$256 \div 32 = 8$.
Так как 256 кратно 32, то наибольшим общим делителем этих двух чисел будет меньшее из них, то есть 32.
Ответ: 32.

д) Найдем НОД для чисел 45 и 15.
Проверим, делится ли 45 на 15:
$45 \div 15 = 3$.
Поскольку 45 делится на 15 без остатка, то 15 является их наибольшим общим делителем.
Ответ: 15.

е) Найдем НОД для чисел 21 и 63.
Проверим, делится ли 63 на 21:
$63 \div 21 = 3$.
Так как 63 является кратным числу 21, то наибольшим общим делителем этих чисел будет число 21.
Ответ: 21.

3.73. Число 12 321 делится на 111. Найдите $\text{НОД}(12321, 111)$.

По определению, наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

В условии задачи сказано, что число 12 321 делится на 111. Это означает, что 111 является делителем числа 12 321.

Рассмотрим два числа: 12 321 и 111. Нам нужно найти их общий делитель, который был бы самым большим.

1. Число 111 делится на 111 (любое число делится само на себя).

2. Число 12 321 делится на 111 (это дано в условии).

Из этих двух пунктов следует, что 111 является общим делителем для чисел 12 321 и 111.

Так как любой общий делитель двух чисел не может быть больше меньшего из них (если оно не равно нулю), то НОД(12 321, 111) не может быть больше 111.

Мы уже установили, что 111 является их общим делителем. Поскольку никакой больший общий делитель существовать не может, 111 и есть наибольший общий делитель.

Это общее свойство: если число $a$ делится на число $b$, то их наибольший общий делитель равен $b$. Формально: если $a \vdots b$, то НОД$(a, b) = b$.

Ответ: 111

3.74. Найдите:

а) $ \text{НОД}(14, 7); $

б) $ \text{НОД}(26, 13); $

в) $ \text{НОД}(48, 8); $

г) $ \text{НОД}(64, 16); $

д) $ \text{НОД}(45, 9); $

е) $ \text{НОД}(11, 66). $

а) Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) для чисел 14 и 7, нужно определить самое большое число, на которое делятся оба этих числа без остатка.
Заметим, что число 14 делится на 7 нацело, так как $14 : 7 = 2$.
Если одно натуральное число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Следовательно, НОД (14, 7) = 7.
Ответ: 7

б) Найдем НОД для чисел 26 и 13.
Число 26 делится на 13 без остатка, поскольку $26 : 13 = 2$.
Согласно свойству НОД, если одно число кратно другому, то их НОД равен меньшему из чисел.
Таким образом, НОД (26, 13) = 13.
Ответ: 13

в) Найдем НОД для чисел 48 и 8.
Проверим, делится ли 48 на 8. Да, $48 : 8 = 6$.
Так как 48 кратно 8, их наибольший общий делитель будет равен 8.
Следовательно, НОД (48, 8) = 8.
Ответ: 8

г) Найдем НОД для чисел 64 и 16.
Число 64 делится на 16 нацело, так как $64 : 16 = 4$.
Поскольку одно число является делителем другого, НОД этих чисел будет равен меньшему из них.
Следовательно, НОД (64, 16) = 16.
Ответ: 16

д) Найдем НОД для чисел 45 и 9.
Число 45 делится на 9 без остатка, так как $45 : 9 = 5$.
В этом случае наибольший общий делитель равен 9.
Следовательно, НОД (45, 9) = 9.
Ответ: 9

е) Найдем НОД для чисел 11 и 66.
В этой паре число 66 делится на 11 без остатка, так как $66 : 11 = 6$.
Наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них, то есть 11.
Следовательно, НОД (11, 66) = 11.
Ответ: 11

3.75. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

а) 24 и 35;

б) 56 и 99;

в) 63 и 88;

г) 12 и 25;

д) 32 и 33.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать это с помощью разложения на простые множители, нужно показать, что в разложениях этих чисел нет одинаковых простых множителей.

а) Разложим на простые множители числа 24 и 35.

Для числа 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Для числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

Простые множители числа 24: 2 и 3.

Простые множители числа 35: 5 и 7.

Так как у чисел 24 и 35 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 24 и 35 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($24=2^3 \cdot 3$ и $35=5 \cdot 7$) не содержат общих множителей.

б) Разложим на простые множители числа 56 и 99.

Для числа 56: $56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

Для числа 99: $99 = 3 \cdot 33 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$.

Простые множители числа 56: 2 и 7.

Простые множители числа 99: 3 и 11.

Так как у чисел 56 и 99 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 56 и 99 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($56=2^3 \cdot 7$ и $99=3^2 \cdot 11$) не содержат общих множителей.

в) Разложим на простые множители числа 63 и 88.

Для числа 63: $63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Для числа 88: $88 = 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$.

Простые множители числа 63: 3 и 7.

Простые множители числа 88: 2 и 11.

Так как у чисел 63 и 88 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 63 и 88 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($63=3^2 \cdot 7$ и $88=2^3 \cdot 11$) не содержат общих множителей.

г) Разложим на простые множители числа 12 и 25.

Для числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Для числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Простые множители числа 12: 2 и 3.

Простые множители числа 25: 5.

Так как у чисел 12 и 25 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 12 и 25 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($12=2^2 \cdot 3$ и $25=5^2$) не содержат общих множителей.

д) Разложим на простые множители числа 32 и 33.

Для числа 32: $32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.

Для числа 33: $33 = 3 \cdot 11$.

Простые множители числа 32: 2.

Простые множители числа 33: 3 и 11.

Так как у чисел 32 и 33 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 32 и 33 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($32=2^5$ и $33=3 \cdot 11$) не содержат общих множителей.

3.76. Найдите:

а) $\text{НОД}(13, 5)$;

б) $\text{НОД}(3, 11)$;

в) $\text{НОД}(29, 19)$;

г) $\text{НОД}(54, 55)$;

д) $\text{НОД}(62, 63)$;

е) $\text{НОД}(98, 99)$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 13 и 5, нужно найти самое большое число, на которое делятся и 13, и 5. Оба числа, 13 и 5, являются простыми, так как у них есть только два делителя: 1 и само число. Делители числа 13 — это 1 и 13. Делители числа 5 — это 1 и 5. Единственный общий делитель для этих чисел — это 1. Таким образом, их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: $НОД (13, 5) = 1$.

б) Числа 3 и 11 также являются простыми. Два различных простых числа всегда взаимно просты, то есть их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: $НОД (3, 11) = 1$.

в) Числа 29 и 19 являются простыми. Как и в предыдущих случаях, у двух разных простых чисел наибольший общий делитель всегда равен 1.

Ответ: $НОД (29, 19) = 1$.

г) Числа 54 и 55 являются последовательными целыми числами. Любые два последовательных целых числа являются взаимно простыми, и их НОД всегда равен 1. Для проверки разложим оба числа на простые множители. Разложение числа 54: $54 = 2 \cdot 3^3$. Разложение числа 55: $55 = 5 \cdot 11$. У этих разложений нет общих простых множителей, что подтверждает, что НОД равен 1.

Ответ: $НОД (54, 55) = 1$.

д) Числа 62 и 63 — последовательные, а значит, они взаимно простые. Их НОД равен 1. Проверим это с помощью разложения на простые множители. Для числа 62 имеем: $62 = 2 \cdot 31$. Для числа 63: $63 = 3^2 \cdot 7$. Общих простых множителей нет, поэтому НОД равен 1.

Ответ: $НОД (62, 63) = 1$.

е) Числа 98 и 99 являются последовательными, следовательно, их наибольший общий делитель равен 1. Выполним разложение на простые множители для подтверждения. Разложение для 98: $98 = 2 \cdot 7^2$. Разложение для 99: $99 = 3^2 \cdot 11$. Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1.

Ответ: $НОД (98, 99) = 1$.

3.77. Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми.

Чтобы доказать это утверждение, необходимо использовать определения простого и взаимно простого чисел.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя.

Взаимно простые числа — это числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1.

Пусть у нас есть два простых числа, назовем их $p$ и $q$. Утверждение предполагает, что эти числа различны, то есть $p \neq q$.

Рассмотрим множество всех натуральных делителей числа $p$. Так как $p$ — простое число, его делителями являются только числа 1 и $p$.

Аналогично, множество натуральных делителей числа $q$ состоит только из чисел 1 и $q$.

Общими делителями чисел $p$ и $q$ являются те числа, которые есть в обоих множествах делителей. Поскольку мы приняли, что $p \neq q$, единственным общим элементом в множествах $\{1, p\}$ и $\{1, q\}$ является число 1.

Следовательно, у чисел $p$ и $q$ есть только один общий делитель — это 1. Значит, их наибольший общий делитель также равен 1:

$НОД(p, q) = 1$

По определению, числа, чей наибольший общий делитель равен 1, являются взаимно простыми. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Пусть $p$ и $q$ – два различных простых числа. По определению простого числа, у числа $p$ есть только два делителя: $1$ и $p$. У числа $q$ также только два делителя: $1$ и $q$. Так как $p \neq q$, их единственным общим делителем является число $1$. Следовательно, наибольший общий делитель $НОД(p, q) = 1$, что означает, что числа $p$ и $q$ являются взаимно простыми.

3.78. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Обозначим два соседних натуральных числа как $n$ и $n+1$, где $n$ — любое натуральное число.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что числа $n$ и $n+1$ не являются взаимно простыми. Это означает, что у них есть общий делитель $d$, который больше 1 ($d > 1$).

Если число $d$ является делителем и для $n$, и для $n+1$, то это означает, что:

• $n$ делится на $d$ без остатка ($n \vdots d$)
• $n+1$ делится на $d$ без остатка ( $(n+1) \vdots d$ )

Согласно свойству делимости, если два числа делятся на $d$, то и их разность также должна делиться на $d$. Найдем разность наших чисел:

$(n+1) - n = 1$

Следовательно, их разность, равная 1, также должна делиться на $d$.

Единственное натуральное число, на которое делится 1, это само число 1. Таким образом, $d$ должен быть равен 1.

Это приводит нас к противоречию. Мы предположили, что существует общий делитель $d > 1$, но пришли к выводу, что $d$ может быть равен только 1. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Таким образом, у двух соседних натуральных чисел $n$ и $n+1$ не может быть общего делителя, большего 1. Их единственный общий положительный делитель — это 1.

Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1, и, по определению, они являются взаимно простыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Два соседних натуральных числа $n$ и $n+1$ имеют наибольший общий делитель, равный 1 ($\text{НОД}(n, n+1) = 1$), поэтому они являются взаимно простыми.

3.79. Придумайте пять пар таких чисел $a$ и $b$, чтобы НОД $(a, b) = 1$.

Наибольший общий делитель (сокращенно НОД) двух целых чисел a и b — это самое большое натуральное число, на которое оба числа a и b делятся без остатка. Если $НОД(a, b) = 1$, то такие числа называются взаимно простыми. Это означает, что у них нет общих делителей, кроме единицы.

Вот пять примеров пар взаимно простых чисел:

1. Пара (3, 5)
Числа 3 и 5 являются простыми. Простые числа по определению делятся только на 1 и на самих себя. Так как 3 и 5 — это разные простые числа, их единственный общий натуральный делитель — это 1.
Проверка: Делители числа 3: {1, 3}. Делители числа 5: {1, 5}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(3, 5) = 1$.
Ответ: (3, 5).

2. Пара (8, 9)
Любые два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми. Если предположить, что у них есть общий делитель $d > 1$, то $d$ должен делить и их разность, которая равна $9 - 8 = 1$. Но единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1. Следовательно, наше предположение неверно, и единственный общий делитель — это 1.
Проверка: Разложим на простые множители: $8 = 2^3$; $9 = 3^2$. Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(8, 9) = 1$.
Ответ: (8, 9).

3. Пара (7, 10)
Здесь 7 — простое число, а 10 — составное. Для того чтобы НОД был больше 1, необходимо, чтобы 10 делилось на 7, так как 7 делится только на 1 и 7. Но 10 на 7 без остатка не делится.
Проверка: Делители числа 7: {1, 7}. Делители числа 10: {1, 2, 5, 10}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(7, 10) = 1$.
Ответ: (7, 10).

4. Пара (15, 28)
Оба числа, 15 и 28, являются составными. Чтобы найти их НОД, разложим их на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$28 = 2^2 \cdot 7$
Как видно из разложений, у этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они взаимно простые.
Ответ: (15, 28).

5. Пара (1, 42)
Число 1 имеет только один натуральный делитель — само себя. Поэтому для любого натурального числа n наибольший общий делитель чисел 1 и n всегда будет равен 1.
Проверка: Делители числа 1: {1}. Делители числа 42: {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}. Общий делитель только один — 1. Значит, $НОД(1, 42) = 1$.
Ответ: (1, 42).

3.80. Найдите:

а) $НОД(320, 40)$;

б) $НОД(233, 79)$;

в) $НОД(278, 279)$;

г) $НОД(484, 44)$;

д) $НОД(84, 96)$;

е) $НОД(100, 175).$

а) Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) для чисел 320 и 40, достаточно заметить, что 320 делится на 40 без остатка:
$320 \div 40 = 8$
Согласно свойству НОД, если одно число является делителем другого, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Следовательно, НОД(320, 40) = 40.
Ответ: 40.

б) Для нахождения НОД(233, 79) применим алгоритм Евклида, который заключается в последовательном делении с остатком.
1. Делим большее число на меньшее:
$233 = 2 \cdot 79 + 75$
2. Делим предыдущий делитель (79) на полученный остаток (75):
$79 = 1 \cdot 75 + 4$
3. Повторяем процедуру, пока остаток не станет равен нулю:
$75 = 18 \cdot 4 + 3$
$4 = 1 \cdot 3 + 1$
$3 = 3 \cdot 1 + 0$
Последний ненулевой остаток и является наибольшим общим делителем. В данном случае это 1.
Ответ: 1.

в) Числа 278 и 279 — это два последовательных натуральных числа. Наибольший общий делитель для любых двух последовательных натуральных чисел всегда равен 1. Это связано с тем, что их разность равна 1 ($279 - 278 = 1$), и любой их общий делитель должен также делить и их разность. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1.
Следовательно, НОД(278, 279) = 1.
Ответ: 1.

г) Для нахождения НОД(484, 44), как и в пункте а), проверим, делится ли большее число на меньшее.
$484 \div 44 = 11$
Поскольку 484 делится на 44 нацело, их наибольший общий делитель равен меньшему числу.
Следовательно, НОД(484, 44) = 44.
Ответ: 44.

д) Чтобы найти НОД(84, 96), разложим оба числа на простые множители.
Для числа 84:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
Для числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2^2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 12 = 2^4 \cdot 6 = 2^5 \cdot 3$
НОД является произведением общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью, в которой они встречаются в разложениях.
Общие множители: 2 и 3.
Наименьшая степень для 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для 3 - это $3^1$.
НОД(84, 96) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12.

е) Для нахождения НОД(100, 175) также используем разложение на простые множители.
Для числа 100:
$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$
Для числа 175:
$175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$
Находим произведение общих простых множителей в наименьшей степени.
Единственный общий простой множитель - это 5. Наименьшая степень, с которой он входит в оба разложения, - это $5^2$.
НОД(100, 175) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.