Страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.110. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа?

Для решения этой задачи рассмотрим, как изменяется сумма четырех чисел после каждого хода.

Изначально у нас есть числа: 0, 0, 0, 1.

Найдем их начальную сумму:

$S_{начальная} = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$

Начальная сумма — нечетное число.

За один ход мы прибавляем 1 к двум любым числам. Это означает, что за каждый ход общая сумма четырех чисел увеличивается на $1 + 1 = 2$.

Прибавление 2 к любому числу не меняет его четность. Так как начальная сумма была нечетной (1), то после любого количества ходов она останется нечетной.

Пусть $k$ — количество сделанных ходов. Тогда сумма чисел после $k$ ходов будет равна:

$S_{k} = S_{начальная} + 2k = 1 + 2k$

Эта формула показывает, что сумма всегда будет нечетной.

Теперь предположим, что нам удалось получить 4 равных числа. Обозначим это число как $N$. Тогда у нас будет набор чисел: $N, N, N, N$.

Найдем сумму этих четырех равных чисел:

$S_{конечная} = N + N + N + N = 4N$

Сумма $4N$ является четным числом для любого целого $N$, так как она делится на 4 (и на 2).

Получаем противоречие: с одной стороны, сумма чисел после любого количества ходов всегда должна быть нечетной. С другой стороны, если бы мы достигли цели (четыре равных числа), их сумма была бы четной. Поскольку одно и то же число не может быть одновременно и четным, и нечетным, достичь цели невозможно.

Ответ: нет, получить 4 равных числа невозможно.

3.111. В шести коробочках лежат деньги. В первой $1\text{ р.}$, во второй $2\text{ р.}$, в третьей $3\text{ р.}$ и т. д., в шестой $6\text{ р.}$. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по $1\text{ р.}$. Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках?

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется общая сумма денег во всех коробочках, а именно ее четность.

1. Найдем начальную общую сумму денег. В шести коробочках лежат 1, 2, 3, 4, 5 и 6 рублей. Их общая сумма равна: $S_{начальная} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Начальная сумма — нечетное число.

2. По условию, за один ход в две коробочки добавляется по 1 рублю. Таким образом, при каждом ходе общая сумма денег во всех коробочках увеличивается на $1 + 1 = 2$ рубля.

3. Начальная сумма (21) является нечетной. Каждый ход добавляет к ней четное число (2). Сумма нечетного числа и четного числа всегда является нечетным числом. Следовательно, после любого количества ходов общая сумма денег во всех коробочках всегда будет оставаться нечетной.

4. Теперь предположим, что нам удалось уравнять суммы во всех коробочках. Пусть в каждой из шести коробочек стало по $X$ рублей. В этом случае итоговая общая сумма денег составит: $S_{конечная} = 6 \times X$.

5. Так как число коробочек (6) — четное, то итоговая сумма $6X$ будет четным числом при любом целом $X$.

6. Мы получили противоречие. С одной стороны, общая сумма денег в процессе всегда должна быть нечетной. С другой стороны, если бы нам удалось уравнять суммы, общая сумма денег стала бы четной. Поскольку число не может быть одновременно и четным, и нечетным, наше предположение о возможности уравнять суммы неверно.

Ответ: Нет, уравнять суммы в коробочках нельзя.

3.112. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 146.

a) б) Рис. 146

Данная задача относится к разделу теории графов, который изучает так называемые эйлеровы пути. Фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, если число вершин с нечетным количеством отходящих от них линий (рёбер) равно нулю или двум. Такие вершины называют «нечетными». Если все вершины «четные» (имеют четное число рёбер), то начать и закончить рисование можно в любой точке. Если есть две «нечетные» вершины, то начинать рисование нужно в одной из них, а заканчивать — в другой. Если «нечетных» вершин больше двух, то нарисовать такую фигуру одним росчерком невозможно.

а) Рассмотрим фигуру как граф, где точки пересечения линий являются вершинами, а сами линии — рёбрами.
В этой фигуре 6 вершин:

• Четыре угловые вершины, из каждой выходит по 2 линии (чётное число).
• Две центральные вершины (на общей стороне двух квадратов), из каждой выходит по 3 линии (нечётное число).

Поскольку в фигуре ровно две нечётные вершины, её можно нарисовать одним росчерком. Начать нужно в одной из центральных вершин и закончить в другой.
Ответ: Да, можно.

б) Рассмотрим эту фигуру по тому же принципу.
В этой фигуре 5 вершин:

• Две нижние угловые вершины, из каждой выходит по 2 линии (чётное число).
• Верхняя вершина (конёк крыши), из неё выходят 2 линии (чётное число).
• Две средние вершины (основание крыши), из каждой выходит по 3 линии (нечётное число).

В этой фигуре также ровно две нечётные вершины. Следовательно, её можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Рисование нужно начинать в одной из вершин у основания крыши, а закончить в другой.
Ответ: Да, можно.

3.113. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 147.

а) б) в) Рис. 147

Для решения этой задачи используется правило из теории графов, которое определяет, можно ли начертить фигуру одним росчерком (является ли граф уникурсальным). Фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, только в том случае, если количество вершин (точек, в которых сходятся или пересекаются линии), имеющих нечетную степень (в которых сходится нечетное число линий), равно нулю или двум. Если таких вершин больше двух, то нарисовать фигуру одним росчерком невозможно. Проанализируем каждую фигуру с этой точки зрения.

а)

Рассмотрим зеленую фигуру. Вершинами в ней являются точки пересечения и окончания линий. Определим степень каждой вершины, то есть сосчитаем, сколько линий в ней сходится.

В этой фигуре можно выделить несколько групп вершин:

• Центральная точка, где пересекаются два диаметра. В ней сходятся 4 отрезка, поэтому ее степень равна 4 (четная).
• Четыре точки на окружности, в которых ее пересекают диаметры. В каждой такой точке сходится один отрезок диаметра и две дуги окружности. Степень каждой из этих вершин равна $1 + 2 = 3$ (нечетная).
• Четыре вершины вписанного квадрата, которые лежат на окружности. В каждой такой вершине сходятся две стороны квадрата и две дуги окружности. Степень каждой из этих вершин равна $2 + 2 = 4$ (четная).

В итоге, у данной фигуры есть четыре вершины с нечетной степенью. Поскольку количество нечетных вершин (4) больше двух, нарисовать эту фигуру одним росчерком невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.

б)

Рассмотрим красную фигуру. Вершинами в ней являются центр окружности и четыре вершины квадрата, лежащие на окружности.

• Центральная точка, где пересекаются диагонали квадрата. В ней сходятся 4 отрезка, составляющих диагонали. Степень этой вершины равна 4 (четная).
• Четыре вершины квадрата, лежащие на окружности. В каждой такой вершине сходятся две стороны квадрата, один отрезок диагонали, ведущий к центру, и две дуги окружности. Таким образом, степень каждой из этих вершин равна $2 + 1 + 2 = 5$ (нечетная).

В этой фигуре четыре вершины с нечетной степенью. Следовательно, нарисовать ее, не отрывая карандаша от бумаги, невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.

в)

Рассмотрим синюю фигуру, которая является двумерным изображением куба. Вершинами в этой фигуре являются 8 углов куба.

• Из каждого угла куба выходит по три ребра. На представленном рисунке это соответствует трем линиям, сходящимся в каждой из 8 вершин. Таким образом, степень каждой из 8 вершин равна 3 (нечетная).

Поскольку в этой фигуре 8 вершин с нечетной степенью, что больше двух, нарисовать ее одним росчерком невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.

3.114. В задании 3.113 вам не удалось нарисовать две последние фигуры. Рис. 147

Оказывается, этот результат зависит от числа нечётных узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько нечётных узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать?

Эта задача относится к разделу теории графов и связана с так называемыми Эйлеровыми путями. Возможность нарисовать фигуру одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды) определяется количеством "нечётных узлов".

Нечётный узел — это точка (вершина), в которой сходится нечётное число линий (рёбер).

Рассмотрим логику, лежащую в основе этого правила:

• Каждый раз, когда мы рисуем линию, проходя через узел, который не является начальной или конечной точкой, мы используем одну линию для "входа" в узел и одну для "выхода". Это значит, что для каждого такого промежуточного узла линии используются парами. Следовательно, все промежуточные узлы должны быть чётными (в них должно сходиться чётное число линий).
• Особыми являются только начальная и конечная точки пути.

Существует два случая, когда фигуру можно нарисовать:

1. В фигуре нет нечётных узлов.

Если все узлы в фигуре чётные, то количество нечётных узлов равно $0$. В этом случае мы можем начать рисование в любом узле и, обойдя все линии, вернёмся в исходный узел. Такой замкнутый путь называется Эйлеровым циклом.

2. В фигуре ровно два нечётных узла.

Если в фигуре есть нечётные узлы, то для возможности её нарисовать их должно быть ровно два. Один из них будет начальной точкой пути, а другой — конечной. У начального узла одна линия "уходит" без "приходящей" пары, а у конечного одна линия "приходит" без "уходящей" пары, поэтому эти два узла нечётные. Все остальные узлы должны быть чётными. Такой путь называется Эйлеровым путём.

Если в фигуре больше двух нечётных узлов (кстати, их число всегда чётно — четыре, шесть и т.д.), то нарисовать её одним росчерком невозможно. Для каждой пары нечётных узлов (старт-финиш) требуется отдельная непрерывная линия.

Таким образом, фигуры, которые вам не удалось нарисовать в предыдущем задании, скорее всего, имели четыре или более нечётных узла.

Ответ: Чтобы фигуру можно было нарисовать, в ней должно быть $0$ или $2$ нечётных узла.

3.115. Какую из фигур, изображённых на рисунке 148, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды?

а) б) в) Рис. 148

Чтобы определить, можно ли нарисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нужно воспользоваться правилом из теории графов, которое было сформулировано Леонардом Эйлером. Фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она является связной (состоит из одного «куска») и число её вершин (точек, где сходятся или пересекаются линии) с нечётным количеством сходящихся в них линий (рёбер) равно 0 или 2.

Вершина называется чётной, если в ней сходится чётное число линий. Вершина называется нечётной, если в ней сходится нечётное число линий.

• Если в фигуре нет нечётных вершин, её можно нарисовать, начав и закончив в одной и той же точке.
• Если в фигуре ровно две нечётные вершины, её можно нарисовать, начав в одной из нечётных вершин и закончив в другой.
• Если в фигуре больше двух нечётных вершин, нарисовать её одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую из предложенных фигур.

Подсчитаем степени вершин (количество линий, сходящихся в каждой точке пересечения) для этой фигуры:

• Крайняя левая вершина: 2 линии, степень $2$ (чётная).
• Верхняя центральная вершина: 5 линий, степень $5$ (нечётная).
• Нижняя центральная вершина: 5 линий, степень $5$ (нечётная).
• Вершина в самом центре: 6 линий, степень $6$ (чётная).
• Крайняя правая вершина: 2 линии, степень $2$ (чётная).

Фигура имеет ровно две нечётные вершины. Следовательно, её можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Фигуру а) нарисовать можно.

Фигура представляет собой пять пересекающихся окружностей. Вершинами в данном случае являются точки пересечения этих окружностей.

• В фигуре 8 точек пересечения.
• В каждой точке пересекаются две окружности, а значит, в каждой такой вершине сходятся 4 линии (по два луча от каждой окружности).
• Таким образом, все 8 вершин имеют степень $4$, которая является чётной.

Поскольку у фигуры нет нечётных вершин, её можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Фигуру б) нарисовать можно.

Подсчитаем степени вершин для данной фигуры:

• Точка на окружности сверху (где подходит вертикальная линия): 2 дуги окружности + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности слева (где подходит горизонтальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности справа (где подходит горизонтальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности снизу слева (где подходит вертикальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Точка на окружности снизу справа (где подходит вертикальная линия): 2 дуги + 1 отрезок. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения верхней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения левой нижней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).
• Внутренняя точка пересечения правой нижней вертикальной и горизонтальной линий: 3 отрезка. Степень $3$ (нечётная).

В этой фигуре 8 нечётных вершин. Так как число нечётных вершин больше двух ($8 > 2$), эту фигуру невозможно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Ответ: Фигуру в) нарисовать нельзя.