Страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.120. На рисунке 152, а линия проведена так, чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз. Можно ли такую линию нарисовать на рисунке 152, б? Если можно, то покажите как, если нельзя, то объясните почему.

а) б) Рис. 152

Нарисовать такую линию на рисунке 152, б, невозможно.

Для того чтобы это доказать, можно представить задачу в виде "прогулки" по областям. У нас есть 5 прямоугольников и одна внешняя область, которая их окружает, — итого 6 областей. Линия, которую мы рисуем, переходит из одной области в другую, пересекая их общую границу (отрезок). Условие "пересечь каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз" означает, что линия должна пересечь каждый отрезок, изображенный на схеме, ровно один раз.

В теории графов существует правило (связанное с эйлеровыми путями), которое гласит: нарисовать такую линию (пройти по всем ребрам графа по одному разу) можно только в том случае, если количество областей (вершин графа) с нечетным числом границ-отрезков (ребер) равно нулю или двум.

Если таких областей ноль, то линия будет замкнутой (начнется и закончится в одной и той же области). Если их две, то линия начнется в одной из этих областей и закончится в другой. Если таких областей больше двух, то нарисовать такую линию невозможно.

Посчитаем количество граничных отрезков для каждой из 6 областей на рисунке 152, б. Пронумеруем прямоугольники слева направо и сверху вниз: R1, R2, R3 — в верхнем ряду; R4, R5 — в нижнем ряду.

Прямоугольник R1 (верхний левый): граничит с R2, R4 и с внешней областью (две стороны). Всего 4 граничных отрезка. Это четное число.

Прямоугольник R2 (верхний центральный): граничит с R1, R3, R4 и R5. Всего 4 граничных отрезка. Это четное число.

Прямоугольник R3 (верхний правый): граничит с R2, R5 и с внешней областью (две стороны). Всего 4 граничных отрезка. Это четное число.

Прямоугольник R4 (нижний левый): граничит с R1, R2, R5 и с внешней областью (две стороны). Всего 5 граничных отрезков. Это нечетное число.

Прямоугольник R5 (нижний правый): граничит с R2, R3, R4 и с внешней областью (две стороны). Всего 5 граничных отрезков. Это нечетное число.

Внешняя область: ее граница — это периметр всей фигуры. Посчитаем отрезки, его составляющие: 3 отрезка сверху, 2 отрезка слева, 2 отрезка снизу и 2 отрезка справа. Итого: $3 + 2 + 2 + 2 = 9$. Всего 9 граничных отрезков. Это нечетное число.

Таким образом, у нас есть три области с нечетным количеством граничных отрезков: прямоугольник R4 (5 отрезков), прямоугольник R5 (5 отрезков) и внешняя область (9 отрезков).

Поскольку количество таких "нечетных" областей равно трем, что больше двух, нарисовать требуемую линию невозможно.

Ответ: такую линию нарисовать нельзя.