Страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.123. Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.

Отметим, что:

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Научитесь выполнять этот фокус.

Секрет фокуса основан на свойствах чётности и нечётности чисел. Давайте разберем его математически.

Пусть в правой руке спрятана монета номиналом $П$ рублей, а в левой — $Л$ рублей. По условию, одна из монет — 5 рублей (нечётное число), а другая — 2 рубля (чётное число).

Фокусник просит вычислить сумму $S = П \cdot 2 + Л \cdot 3$.

Рассмотрим слагаемые этой суммы:

• Первое слагаемое: $П \cdot 2$. Поскольку любое целое число, умноженное на 2, становится чётным, это слагаемое всегда чётное, независимо от того, какая монета находится в правой руке.
• Второе слагаемое: $Л \cdot 3$. Поскольку 3 — нечётное число, чётность этого произведения зависит только от чётности числа $Л$. Если $Л$ — чётное, то и $Л \cdot 3$ будет чётным. Если $Л$ — нечётное, то и $Л \cdot 3$ будет нечётным.

Теперь рассмотрим чётность всей суммы $S$. Сумма чётного числа ($П \cdot 2$) и числа $Л \cdot 3$ будет иметь ту же чётность, что и $Л \cdot 3$, а значит, ту же чётность, что и само число $Л$.

Таким образом:

• Если сообщённая сумма $S$ — чётная, это значит, что число $Л$ (номинал монеты в левой руке) тоже чётное. Из двух монет (2 и 5) чётной является только двухрублёвая. Значит, в левой руке — 2 рубля.
• Если сообщённая сумма $S$ — нечётная, это значит, что число $Л$ (номинал монеты в левой руке) — нечётное. Из двух монет нечётной является пятирублёвая. Значит, в левой руке 5 рублей, а двухрублёвая — в правой.

Секрет фокуса заключается в том, что один из множителей (в данном случае 2) — чётный, что "скрывает" чётность монеты в соответствующей руке, а другой множитель (3) — нечётный, что "проявляет" чётность монеты во второй руке, тем самым позволяя её определить.

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

Ключевое условие для работы фокуса — монеты должны иметь разную чётность. Одна должна быть чётного номинала, а другая — нечётного. Это позволяет однозначно определить монету, зная только её чётность.

• Пара 1 рубль (нечётное) и 2 рубля (чётное): подойдёт, так как монеты разной чётности.
• Пара 5 рублей (нечётное) и 10 рублей (чётное): подойдёт, так как монеты разной чётности.
• Пара 1 рубль (нечётное) и 5 рублей (нечётное): не подойдёт. Если фокусник определит, что в руке нечётная монета, он не сможет сказать, какая именно — рублёвая или пятирублёвая.

Ответ: фокус работает только тогда, когда номиналы используемых монет имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Ключевое условие для множителей — они также должны иметь разную чётность. Один множитель должен быть чётным, а другой — нечётным. Чётный множитель "скрывает" чётность монеты в одной руке, а нечётный — "показывает" чётность монеты в другой.

• Пара множителей 2 (чётное) и 5 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 4 (чётное) и 5 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 6 (чётное) и 9 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 3 (нечётное) и 5 (нечётное): не подойдёт. Если оба множителя нечётные, то сумма $S = П \cdot 3 + Л \cdot 5$. Чётность $П \cdot 3$ совпадает с чётностью $П$, а чётность $Л \cdot 5$ — с чётностью $Л$. Чётность суммы $S$ будет зависеть от чётности суммы $П + Л$. Поскольку у нас одна монета чётная, а другая нечётная, их сумма ($П + Л$) всегда будет нечётной. Значит, и итоговая сумма $S$ всегда будет нечётной, вне зависимости от расположения монет. Фокусник не получит никакой информации. (Аналогично, если оба множителя чётные, итоговая сумма всегда будет чётной).

Ответ: для фокуса необходимо, чтобы один из множителей был чётным, а другой — нечётным.

Научитесь выполнять этот фокус.

Чтобы выполнить фокус, нужно следовать простому алгоритму:

1. Подготовка монет: Возьмите две монеты с номиналами разной чётности. Например, 1 рубль (нечётный) и 10 рублей (чётный).
2. Выбор множителей: Заранее выберите два числа-множителя разной чётности. Например, 4 (чётный) и 7 (нечётный).
3. Инструкция: Попросите человека спрятать по одной монете в каждую руку. Затем дайте ему чёткую инструкцию, запомнив, какой множитель к какой руке относится. Например: "Умножь число рублей в правой руке на 4, а в левой руке — на 7. Сложи результаты и скажи мне только, чётное или нечётное число у тебя получилось".
4. Разгадка: Вы применили нечётный множитель (7) к левой руке. Это значит, что чётность итоговой суммы будет такой же, как и чётность монеты в левой руке.
   • Если вам сказали "чётное", значит, в левой руке монета с чётным номиналом (10 рублей).
   • Если вам сказали "нечётное", значит, в левой руке монета с нечётным номиналом (1 рубль).

Зная, какая монета в левой руке, вы легко определяете, какая осталась в правой.

Ответ: для выполнения фокуса нужно взять монеты разной чётности (например, 5 и 10 рублей), назначить рукам множители разной чётности (например, 6 для правой и 3 для левой), и по чётности итоговой суммы определить чётность монеты в той руке, которую умножали на нечётное число.

3.124. Найдите все числа вида $\overline{5a4b}$, кратные 36.

Чтобы число вида $\overline{5a4b}$ было кратно 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, поскольку $36 = 4 \cdot 9$ и числа 4 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. В нашем случае это число $\overline{4b}$.

Найдем все возможные значения цифры $b$, при которых число $\overline{4b}$ делится на 4:

• Если $b=0$, то число 40 делится на 4 ($40 : 4 = 10$).
• Если $b=4$, то число 44 делится на 4 ($44 : 4 = 11$).
• Если $b=8$, то число 48 делится на 4 ($48 : 4 = 12$).

Таким образом, возможные значения для цифры $b$: 0, 4 или 8.

2. Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{5a4b}$ равна: $S = 5 + a + 4 + b = 9 + a + b$.

Чтобы сумма $S$ делилась на 9, необходимо, чтобы сумма $(a+b)$ также делилась на 9, так как слагаемое 9 уже кратно 9.

3. Нахождение чисел

Теперь объединим оба условия, рассмотрев каждый возможный случай для $b$.

Случай 1: $b=0$

Сумма $a+b = a+0 = a$ должна быть кратна 9. Так как $a$ – это цифра ($0 \le a \le 9$), то возможны два значения: $a=0$ или $a=9$. В этом случае получаем числа 5040 и 5940.

Случай 2: $b=4$

Сумма $a+b = a+4$ должна быть кратна 9. Учитывая, что $0 \le a \le 9$, получаем $4 \le a+4 \le 13$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, – это 9. $a+4=9 \implies a=5$. В этом случае получаем число 5544.

Случай 3: $b=8$

Сумма $a+b = a+8$ должна быть кратна 9. Учитывая, что $0 \le a \le 9$, получаем $8 \le a+8 \le 17$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, – это 9. $a+8=9 \implies a=1$. В этом случае получаем число 5148.

Мы нашли все числа, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: 5040, 5148, 5544, 5940.

3.125. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Этот фокус основан на свойстве делимости чисел на 9. Объяснение состоит из нескольких шагов.

Математическое обоснование фокуса

1. Пусть ваш товарищ выбрал трёхзначное число $N_1$, состоящее из различных ненулевых цифр $a, b, c$. В десятичной системе это число можно записать как $N_1 = 100a + 10b + c$.

2. Затем он переставил цифры и получил новое число $N_2$. Поскольку $N_2$ состоит из тех же цифр, что и $N_1$, сумма его цифр также равна $a+b+c$.

3. Согласно признаку делимости на 9, любое целое число имеет такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр.Следовательно:

• $N_1$ при делении на 9 даёт остаток $a+b+c$. В виде сравнения: $N_1 \equiv a+b+c \pmod{9}$.
• $N_2$ при делении на 9 даёт тот же остаток $a+b+c$. В виде сравнения: $N_2 \equiv a+b+c \pmod{9}$.

4. Разность этих двух чисел, $D = |N_1 - N_2|$, всегда будет делиться на 9 без остатка. Это происходит потому, что их остатки при делении на 9 одинаковы:

$D = |N_1 - N_2| \equiv (a+b+c) - (a+b+c) \equiv 0 \pmod{9}$.

5. Если число $D$ делится на 9, то и сумма его цифр (обозначим её $S_D$) также должна делиться на 9. Например, если разность получилась 594, то сумма её цифр $5+9+4=18$, и 18 делится на 9.

Как определить зачеркнутую цифру

Зная, что сумма цифр полученной разности ($S_D$) всегда кратна 9, вы можете легко найти зачеркнутую цифру.

1. Ваш товарищ называет вам сумму оставшихся цифр, $S$.

2. Зачеркнутая цифра, назовём её $d_k$, — это та цифра, которую нужно прибавить к $S$, чтобы получить число, кратное 9. То есть, $S + d_k = S_D$.

3. Ваша задача — найти такое $d_k$ (от 0 до 9), чтобы сумма $S + d_k$ стала ближайшим к $S$ (в большую сторону) числом, которое делится на 9.

Например, товарищ задумал число 841. Переставил цифры и получил 148.
Разность $D = 841 - 148 = 693$.
Сумма цифр разности $S_D = 6+9+3 = 18$. (18 делится на 9).
Товарищ зачеркивает цифру 6 и называет вам сумму оставшихся: $S = 9+3 = 12$.
Вы слышите "12". Ближайшее кратное 9, которое больше или равно 12, это 18.
Вы вычисляете: $d_k = 18 - 12 = 6$. И называете зачеркнутую цифру — 6.

Особый случай и его разрешение

Может возникнуть ситуация, когда названная товарищем сумма $S$ сама по себе кратна 9 (например, 9 или 18).
Например, если разность была $D = 297$ ($S_D = 18$), и товарищ зачеркнул 9. Тогда он назовёт вам сумму $S = 2+7 = 9$.
Когда вы слышите "9", возникает неоднозначность:

• Возможно, изначальная сумма цифр ($S_D$) была 9, и тогда зачеркнули $9-9=0$.
• А возможно, изначальная сумма цифр ($S_D$) была 18, и тогда зачеркнули $18-9=9$.

Чтобы "фокус" всегда удавался, используется простое правило-соглашение: если названная сумма кратна 9, то зачеркнутая цифра — это 9. Это соглашение устраняет неоднозначность и позволяет всегда давать правильный ответ, так как вариант с зачеркиванием нуля в таких ситуациях намеренно исключается из правил фокуса.

Ответ: Фокус основан на свойстве чисел: разность между любым числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда делится на 9. Следовательно, сумма цифр этой разности также делится на 9. Чтобы найти зачеркнутую цифру, нужно к названной сумме оставшихся цифр добавить такое число (от 0 до 9), чтобы результат стал кратен 9. Если названная сумма сама по себе кратна 9, то зачеркнутой цифрой по правилам фокуса считается 9.

3.126. Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!.

— Что это за восклицательный знак? — спросил он.

— Это не восклицательный знак. Запись 5! читается «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5.

А для любого натурального числа $n$ ($n > 1$) запись $n!$ читается «эн факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до $n$:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n.$

Считается, что

$1! = 1.$

Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!.

В задаче требуется вычислить значения факториалов для чисел 2, 3, 4, 5 и 7. Факториал натурального числа $n$, обозначаемый как $n!$, определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.

2!
Согласно определению, $2!$ - это произведение натуральных чисел от 1 до 2.
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
Ответ: 2

3!
$3!$ - это произведение натуральных чисел от 1 до 3.
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
Также можно использовать ранее вычисленное значение $2!$: $3! = 2! \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

4!
$4!$ - это произведение натуральных чисел от 1 до 4.
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
Используя ранее вычисленное значение $3!$: $4! = 3! \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$.
Ответ: 24

5!
$5!$ - это произведение натуральных чисел от 1 до 5.
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
Используя ранее вычисленное значение $4!$: $5! = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$.
Ответ: 120

7!
$7!$ - это произведение натуральных чисел от 1 до 7.
$7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7$
Для удобства вычислений можно использовать значение $5!$:
$7! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot 6 \cdot 7 = 5! \cdot 6 \cdot 7$
$7! = 120 \cdot 6 \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040$
Ответ: 5040

3.127. Докажите, что:

а) $99 \cdot 99! + 99! = 100!$;

б) $1000! - 999! = 999 \cdot 999!$.

а)

Для доказательства равенства $99 \cdot 99! + 99! = 100!$ необходимо преобразовать его левую часть.

Сначала вынесем общий множитель $99!$ за скобки:

$99 \cdot 99! + 99! = 99! \cdot (99 + 1)$

Теперь выполним сложение в скобках:

$99! \cdot (99 + 1) = 99! \cdot 100$

Вспомним определение факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$. Применим это свойство для $100!$:

$100! = 100 \cdot (100-1)! = 100 \cdot 99!$

Мы видим, что преобразованная левая часть ($100 \cdot 99!$) равна правой части ($100!$). Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $99 \cdot 99! + 99! = 100!$ доказано.

б)

Для доказательства равенства $1000! - 999! = 999 \cdot 999!$ необходимо преобразовать его левую часть.

Используя определение факториала $n! = n \cdot (n-1)!$, представим $1000!$ через $999!$:

$1000! = 1000 \cdot 999!$

Подставим это выражение в левую часть равенства:

$1000 \cdot 999! - 999!$

Вынесем общий множитель $999!$ за скобки:

$999! \cdot (1000 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$999! \cdot 999$

Полученное выражение $999 \cdot 999!$ полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $1000! - 999! = 999 \cdot 999!$ доказано.