Номер 3.125, страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.125. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Этот фокус основан на свойстве делимости чисел на 9. Объяснение состоит из нескольких шагов.

Математическое обоснование фокуса

1. Пусть ваш товарищ выбрал трёхзначное число $N_1$, состоящее из различных ненулевых цифр $a, b, c$. В десятичной системе это число можно записать как $N_1 = 100a + 10b + c$.

2. Затем он переставил цифры и получил новое число $N_2$. Поскольку $N_2$ состоит из тех же цифр, что и $N_1$, сумма его цифр также равна $a+b+c$.

3. Согласно признаку делимости на 9, любое целое число имеет такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр.Следовательно:

• $N_1$ при делении на 9 даёт остаток $a+b+c$. В виде сравнения: $N_1 \equiv a+b+c \pmod{9}$.
• $N_2$ при делении на 9 даёт тот же остаток $a+b+c$. В виде сравнения: $N_2 \equiv a+b+c \pmod{9}$.

4. Разность этих двух чисел, $D = |N_1 - N_2|$, всегда будет делиться на 9 без остатка. Это происходит потому, что их остатки при делении на 9 одинаковы:

$D = |N_1 - N_2| \equiv (a+b+c) - (a+b+c) \equiv 0 \pmod{9}$.

5. Если число $D$ делится на 9, то и сумма его цифр (обозначим её $S_D$) также должна делиться на 9. Например, если разность получилась 594, то сумма её цифр $5+9+4=18$, и 18 делится на 9.

Как определить зачеркнутую цифру

Зная, что сумма цифр полученной разности ($S_D$) всегда кратна 9, вы можете легко найти зачеркнутую цифру.

1. Ваш товарищ называет вам сумму оставшихся цифр, $S$.

2. Зачеркнутая цифра, назовём её $d_k$, — это та цифра, которую нужно прибавить к $S$, чтобы получить число, кратное 9. То есть, $S + d_k = S_D$.

3. Ваша задача — найти такое $d_k$ (от 0 до 9), чтобы сумма $S + d_k$ стала ближайшим к $S$ (в большую сторону) числом, которое делится на 9.

Например, товарищ задумал число 841. Переставил цифры и получил 148.
Разность $D = 841 - 148 = 693$.
Сумма цифр разности $S_D = 6+9+3 = 18$. (18 делится на 9).
Товарищ зачеркивает цифру 6 и называет вам сумму оставшихся: $S = 9+3 = 12$.
Вы слышите "12". Ближайшее кратное 9, которое больше или равно 12, это 18.
Вы вычисляете: $d_k = 18 - 12 = 6$. И называете зачеркнутую цифру — 6.

Особый случай и его разрешение

Может возникнуть ситуация, когда названная товарищем сумма $S$ сама по себе кратна 9 (например, 9 или 18).
Например, если разность была $D = 297$ ($S_D = 18$), и товарищ зачеркнул 9. Тогда он назовёт вам сумму $S = 2+7 = 9$.
Когда вы слышите "9", возникает неоднозначность:

• Возможно, изначальная сумма цифр ($S_D$) была 9, и тогда зачеркнули $9-9=0$.
• А возможно, изначальная сумма цифр ($S_D$) была 18, и тогда зачеркнули $18-9=9$.

Чтобы "фокус" всегда удавался, используется простое правило-соглашение: если названная сумма кратна 9, то зачеркнутая цифра — это 9. Это соглашение устраняет неоднозначность и позволяет всегда давать правильный ответ, так как вариант с зачеркиванием нуля в таких ситуациях намеренно исключается из правил фокуса.

Ответ: Фокус основан на свойстве чисел: разность между любым числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда делится на 9. Следовательно, сумма цифр этой разности также делится на 9. Чтобы найти зачеркнутую цифру, нужно к названной сумме оставшихся цифр добавить такое число (от 0 до 9), чтобы результат стал кратен 9. Если названная сумма сама по себе кратна 9, то зачеркнутой цифрой по правилам фокуса считается 9.