Номер 3.130, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.130. Задачи на рисование линии по указанным ранее правилам можно усложнить. Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом, чтобы линия не пересекала себя. Например, «конверт», изображённый на рисунке 153, а, можно нарисовать, как на рисунке 153, б.

Нарисуйте фигуру (рис. 154), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так, чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке.

Указание. Фигуру следует раскрасить в шахматном порядке, отсоединить закрашенные области друг от друга так, чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой-либо другой закрашенной областью. Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру (рис. 155).

Рис. 154

Рис. 155

а) б) Рис. 153

Задача заключается в том, чтобы нарисовать фигуру, изображенную на рис. 154, одной непрерывной линией, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя ни одну линию дважды и не пересекая уже нарисованную часть линии.

Такие задачи решаются с помощью теории графов. Фигуру можно представить как граф, где отрезки линий и дуги являются рёбрами, а точки их пересечения — вершинами.

Для того чтобы граф можно было начертить одним росчерком (не отрывая карандаша и не проводя по одному ребру дважды), он должен быть связным и иметь не более двух вершин с нечётной степенью (количеством рёбер, выходящих из вершины).

• Если в графе нет нечётных вершин, его можно начертить одним росчерком, при этом путь будет замкнутым (эйлеров цикл), то есть начало и конец пути совпадут.
• Если в графе ровно две нечётные вершины, его можно начертить одним росчерком, но путь будет незамкнутым (эйлеров путь). Он начнётся в одной из нечётных вершин и закончится в другой.
• Если в графе более двух нечётных вершин, начертить его одним росчерком невозможно.

Проанализируем фигуру на рис. 154 как граф.

1. Определение вершин и их степеней

У фигуры есть 5 вершин:

• Вершина O — центр окружности, где пересекаются два диаметра. Из этой точки выходят 4 отрезка (радиуса). Степень этой вершины равна 4. $deg(O) = 4$ (чётная).
• Вершина N — верхняя точка на окружности. Здесь сходятся 3 линии: один радиус и две дуги окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(N) = 3$ (нечётная).
• Вершина S — нижняя точка на окружности. Аналогично, степень этой вершины равна 3. $deg(S) = 3$ (нечётная).
• Вершина W — левая точка на окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(W) = 3$ (нечётная).
• Вершина E — правая точка на окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(E) = 3$ (нечётная).

2. Анализ возможности начертания фигуры

В рассматриваемом графе есть четыре вершины нечётной степени (N, S, W, E). Согласно теореме Эйлера, граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Для начертания этой фигуры потребуется как минимум $4/2 = 2$ росчерка (две отдельные непрерывные линии).

Дополнительное условие о том, что линия не должна пересекать саму себя, только усложняет задачу, но не может сделать невозможную задачу возможной. Это условие относится к способу прохождения пути по графу (например, в вершине O с чётной степенью 4 можно пройти "насквозь", что создаст самопересечение, или "повернуть", что его избежит), но оно не меняет фундаментальные свойства самого графа (количество нечётных вершин).

3. Вывод

На основании анализа с помощью теории графов можно сделать вывод, что данную фигуру невозможно нарисовать, соблюдая все условия задачи (не отрывая карандаш и не проводя линии дважды). Указание, данное в задаче, может относиться к решению похожих, но возможных задач (как с "конвертом"), либо к построению связанной, но другой фигуры, как показано на рис. 155. Однако строгое выполнение поставленной задачи для фигуры на рис. 154 невозможно.

Ответ: Задачу решить невозможно, так как представленная фигура (граф) имеет четыре вершины нечётной степени, а для того, чтобы нарисовать фигуру одним росчерком, необходимо, чтобы таких вершин было не более двух.