Номер 3.131, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.131. Нарисуйте по правилам, приведённым в задаче 3.130, фигуру, изображённую на рисунке 156.

Рис. 156

Поскольку правила из задачи 3.130 не предоставлены, будем выполнять построение с помощью циркуля и линейки без делений, что является стандартным условием для подобных геометрических задач. Фигура на рисунке 156 представляет собой квадрат, вписанный в окружность.

Для построения данной фигуры необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью циркуля начертите произвольную окружность с центром в точке $O$.
2. С помощью линейки проведите через центр $O$ прямую линию. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначьте буквами $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диаметром окружности.
3. Теперь необходимо построить второй диаметр, перпендикулярный первому. Для этого установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу с радиусом, который заведомо больше радиуса окружности (длины отрезка $AO$).
4. Не изменяя раствора циркуля, установите его острие в точку $C$ и начертите вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $P$ и $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая пройдет через центр окружности $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AC$. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначьте буквами $B$ и $D$. Отрезок $BD$ — это второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$.
6. Последовательно соедините отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ и есть искомый квадрат. Это можно доказать, рассмотрев его свойства. Диагонали $AC$ и $BD$ равны, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($AC = BD = 2R$, где $R$ — радиус окружности). Они взаимно перпендикулярны по построению ($AC \perp BD$). Они пересекаются в центре окружности $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OC = BO = OD = R$). Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

Ответ: Построенный по описанному алгоритму четырехугольник $ABCD$ является квадратом, вписанным в окружность, что и требовалось нарисовать согласно рисунку 156.