Номер 3.137, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.137. За столом сидят рыцари — они всегда говорят правду, и лжецы — они всегда лгут. Каждый из сидящих за столом сказал соседу справа: «Вы лжец». Могло ли число сидящих за столом быть:

а) чётным;

б) нечётным?

Для решения этой задачи проанализируем, что означает фраза «Вы лжец», сказанная рыцарем или лжецом. Пусть за столом сидят рыцари, которые всегда говорят правду (Р), и лжецы, которые всегда лгут (Л).

1. Если фразу «Вы лжец» говорит рыцарь, то это утверждение — правда. Значит, его сосед справа действительно является лжецом. Таким образом, справа от любого рыцаря должен сидеть лжец (схема Р → Л).

2. Если фразу «Вы лжец» говорит лжец, то это утверждение — ложь. Значит, его сосед справа на самом деле не лжец, а рыцарь. Таким образом, справа от любого лжеца должен сидеть рыцарь (схема Л → Р).

Из этих двух правил следует, что за столом рыцари и лжецы должны сидеть, чередуясь друг с другом. Последовательность сидящих за столом должна выглядеть как Р, Л, Р, Л, ...

а) Могло ли число сидящих за столом быть чётным?

Да, могло. Если общее число сидящих чётно, например $N = 2k$, где $k \ge 1$, то можно рассадить за столом $k$ рыцарей и $k$ лжецов, чередуя их: Р, Л, Р, Л, ..., Р, Л.

При такой рассадке справа от каждого рыцаря сидит лжец, а справа от каждого лжеца — рыцарь. Когда круг замыкается, справа от последнего лжеца (на $N$-ом месте) оказывается первый рыцарь, что не противоречит условиям.

Например, если за столом сидят 4 человека (Р, Л, Р, Л):

• Первый (Р) говорит второму (Л): «Вы лжец». Это правда.
• Второй (Л) говорит третьему (Р): «Вы лжец». Это ложь.
• Третий (Р) говорит четвертому (Л): «Вы лжец». Это правда.
• Четвертый (Л) говорит первому (Р): «Вы лжец». Это ложь.

Все условия выполнены.

Ответ: да, могло.

б) Могло ли число сидящих за столом быть нечётным?

Нет, не могло. Как мы выяснили, сидящие за столом должны чередоваться. Рассмотрим последовательность для нечётного числа людей $N = 2k+1$.

Если начать с рыцаря, то последовательность будет выглядеть так: Р, Л, Р, Л, ... , Р. То есть и первый, и последний ($N$-й) человек в ряду — рыцари. Но за круглым столом последний сидит рядом с первым. Получается, что справа от последнего рыцаря сидит первый рыцарь (схема Р → Р). Это противоречит правилу, что справа от рыцаря должен сидеть лжец.

Если начать с лжеца, последовательность будет такой: Л, Р, Л, Р, ... , Л. В этом случае и первый, и последний — лжецы. Тогда справа от последнего лжеца будет сидеть первый лжец (схема Л → Л). Это противоречит правилу, что справа от лжеца должен сидеть рыцарь.

Таким образом, при нечётном числе сидящих за столом условия задачи выполнить невозможно.

Ответ: нет, не могло.