Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.131. Нарисуйте по правилам, приведённым в задаче 3.130, фигуру, изображённую на рисунке 156.

Рис. 156

Поскольку правила из задачи 3.130 не предоставлены, будем выполнять построение с помощью циркуля и линейки без делений, что является стандартным условием для подобных геометрических задач. Фигура на рисунке 156 представляет собой квадрат, вписанный в окружность.

Для построения данной фигуры необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью циркуля начертите произвольную окружность с центром в точке $O$.
2. С помощью линейки проведите через центр $O$ прямую линию. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначьте буквами $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диаметром окружности.
3. Теперь необходимо построить второй диаметр, перпендикулярный первому. Для этого установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу с радиусом, который заведомо больше радиуса окружности (длины отрезка $AO$).
4. Не изменяя раствора циркуля, установите его острие в точку $C$ и начертите вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $P$ и $Q$.
5. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая пройдет через центр окружности $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AC$. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначьте буквами $B$ и $D$. Отрезок $BD$ — это второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$.
6. Последовательно соедините отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ и есть искомый квадрат. Это можно доказать, рассмотрев его свойства. Диагонали $AC$ и $BD$ равны, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($AC = BD = 2R$, где $R$ — радиус окружности). Они взаимно перпендикулярны по построению ($AC \perp BD$). Они пересекаются в центре окружности $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OC = BO = OD = R$). Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

Ответ: Построенный по описанному алгоритму четырехугольник $ABCD$ является квадратом, вписанным в окружность, что и требовалось нарисовать согласно рисунку 156.

3.132. Нарисуйте по тем же правилам (см. зада- чу 3.130) фигуру, изображённую на рисун- ке 157.

Рис. 157

Для построения фигуры, изображенной на рисунке, с помощью циркуля и линейки (что, предположительно, является правилами, упомянутыми в задаче 3.130), необходимо выполнить следующую последовательность действий. Фигура состоит из окружности, в которую вписана фигура, напоминающая дом и состоящая из прямоугольника и равнобедренного треугольника на его верхней стороне. Все пять вершин этой фигуры (три вершины треугольника и две нижние вершины прямоугольника) лежат на окружности.

Так как конкретные размеры не заданы, для однозначного построения необходимо сделать разумное предположение о пропорциях фигуры. Наиболее естественным и простым в контексте классических построений является предположение, что боковые стороны верхнего треугольника ($AE$ и $BE$) равны радиусу описанной окружности.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
2. Выберите на окружности любую точку и обозначьте ее $E$. Это будет верхняя вершина треугольника.
3. Проведите через точку $E$ и центр $O$ прямую до пересечения с окружностью в другой точке. Этот отрезок является диаметром и осью симметрии всей фигуры.
4. Установите раствор циркуля равным радиусу окружности $R$. Установите острие циркуля в точку $E$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла исходную окружность в двух точках. Обозначьте эти точки $A$ и $B$.
5. Соедините отрезками точки $A$, $B$ и $E$. Получился треугольник $ABE$, вписанный в окружность. Отрезок $AB$ является основанием треугольника и верхней стороной будущего прямоугольника.
6. Для нахождения нижних вершин прямоугольника ($C$ и $D$) необходимо построить точки, диаметрально противоположные точкам $A$ и $B$. Для этого проведите прямые через точки $A$ и $O$ и через точки $B$ и $O$.
7. Точку пересечения прямой $AO$ с окружностью, отличную от $A$, обозначьте $C$.
8. Точку пересечения прямой $BO$ с окружностью, отличную от $B$, обозначьте $D$.
9. Последовательно соедините отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$, чтобы получить вписанный прямоугольник $ABCD$.
10. Для полного соответствия рисунку проведите диагонали прямоугольника, соединив точки $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Эти отрезки пройдут через центр окружности $O$.

Таким образом, вся фигура построена с использованием только циркуля и линейки без делений, исходя из простого и логичного начального условия.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет построить заданную фигуру с помощью циркуля и линейки.

3.133. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений.

Задача о рисовании фигур одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, решается с помощью раздела математики под названием теория графов. Любую такую фигуру можно представить как граф, где точки соединения линий (углы, пересечения, концы линий) являются вершинами, а сами линии — ребрами.

Ключевым понятием является степень вершины — это количество ребер (линий), которые сходятся в данной вершине. Фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она является связной (состоит из одного «куска») и выполняется одно из двух условий, известных как теорема Эйлера:

1. Все вершины фигуры имеют четную степень. В этом случае путь можно начать в любой вершине и закончить в ней же (такой путь называется Эйлеровым циклом).
2. В фигуре ровно две вершины с нечетной степенью. В этом случае путь необходимо начать в одной из этих нечетных вершин, а закончить — в другой (такой путь называется Эйлеровой цепью).

Если в фигуре больше двух вершин с нечетной степенью, нарисовать ее одним росчерком невозможно. Условие «без самопересечений» означает, что при рисовании линии не должны пересекать друг друга.

Ниже представлены несколько придуманных фигур, которые удовлетворяют этим правилам.

Эта фигура представляет собой два стандартных «домика» (квадрат с треугольной крышей), которые имеют общую центральную стену.

Как нарисовать: Нарисуйте прямоугольник и разделите его пополам вертикальной линией. Эта линия будет общей стеной. Над левой и правой половинами прямоугольника достройте по треугольной крыше так, чтобы их стороны опирались на эту общую стену.

Анализ вершин и их степеней:

• Две нижние крайние вершины: степень каждой равна 2 (горизонтальная и вертикальная линии). Это четное число.
• Две верхние вершины основания (где стены соединяются с крышами по краям): к каждой подходит одна боковая стена, одна сторона крыши и одна половина основания. Степень каждой равна 3. Это нечетное число.
• Вершина, где соединяются две крыши и общая стена: сюда подходят две стороны от двух крыш и верхняя часть общей стены. Степень равна 3. Стоп, тут ошибка в рассуждении. Давайте точнее: Вершины: 2 нижних внешних, 2 верхних внешних (где крыша касается стены), 2 на коньке крыши, 2 на основании общей стены. Всего 8 вершин. Нет, это не так. Давайте считать ребра, входящие в узлы. Узлы: 2 нижних внешних угла, 2 верхних внешних угла (где крыша встречается с боковой стеной), 2 конька крыши, 1 узел где общая стена касается земли, 1 узел где общая стена встречается с крышами. 1. Два нижних внешних угла: степень 2. Четная. 2. Два конька крыши: степень 2. Четная. 3. Узел, где общая стена касается земли: степень 3 (два отрезка основания + сама стена). Нечетная. 4. Узел, где общая стена встречается с крышами: степень 4 (сама стена + две стороны левой крыши + две стороны правой крыши). Нет, тут 3 ребра: стена и 2 ската крыш. Степень 3. Нечетная. 5. Два верхних внешних угла: степень 3 (боковая стена, скат крыши, половина основания). Нечетная. Получается 6 нечетных вершин. Этот пример не подходит.

Давайте исправим фигуру, чтобы она работала. Возьмем два домика, но соединим их не стеной, а вершинами крыш.

Фигура состоит из двух одинаковых «домиков» (квадрат с треугольной крышей), соединенных вершинами своих крыш.

Как нарисовать: Нарисуйте один «домик». Затем нарисуйте второй такой же, но перевернутый, так чтобы вершина его крыши совпала с вершиной крыши первого домика.

Анализ вершин и их степеней:

• Центральная точка соединения (вершины двух крыш): сюда сходятся 4 линии (по две от каждой крыши). Степень этой вершины равна $2+2=4$. Четная.
• Вершины, где крыши соединяются со стенами (всего 4): в каждой сходятся 3 линии (стена, основание, скат крыши). Степень каждой равна 3. Нечетная.
• Нижние углы квадратов (всего 4): степень каждой вершины равна 2. Четная.

В этой фигуре 4 вершины с нечетной степенью. Этот пример тоже не подходит. Задача оказалась сложнее, чем кажется.

Попробуем третий раз.

Эта фигура представляет собой шестиугольник, на каждой стороне которого наружу построен треугольник.

Как нарисовать: Нарисуйте правильный шестиугольник. Затем на каждой его стороне, как на основании, постройте наружу по треугольнику.

Анализ вершин и их степеней:

• Вершины исходного шестиугольника (их 6): в каждой такой вершине сходятся две стороны шестиугольника и две стороны от двух соседних треугольников. Таким образом, степень каждой из этих вершин равна $2+2=4$. Четная.
• Внешние вершины треугольников (их 6, по одной на каждый треугольник): в каждой такой вершине сходятся две стороны одного треугольника. Степень каждой из этих вершин равна 2. Четная.

Все 12 вершин этой фигуры имеют четную степень. Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком, начав и закончив путь в любой вершине. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Кристалл» может быть нарисована по заданным правилам.

Эта фигура похожа на конверт, но нарисована так, чтобы избежать пересечения линий. Она состоит из прямоугольника, и к двум его соседним вершинам присоединен «уголок».

Как нарисовать: Нарисуйте прямоугольник ABCD. Выберите одну из вершин, например, A. От этой вершины проведите два отрезка: один к середине стороны BC (точка M) и один к середине стороны CD (точка N).

Анализ вершин и их степеней:

• Вершина A: к ней подходят две стороны прямоугольника (AB и AD) и два новых отрезка (AM и AN). Ее степень равна $2+2=4$. Четная.
• Вершины B и D: степень каждой равна 2. Четная.
• Вершина C: степень равна 2. Четная.
• Вершина M (на стороне BC): здесь сходятся два сегмента стороны BC (BM и MC) и отрезок AM. Ее степень равна $2+1=3$. Нечетная.
• Вершина N (на стороне CD): здесь сходятся два сегмента стороны CD (CN и ND) и отрезок AN. Ее степень равна $2+1=3$. Нечетная.

В этой фигуре ровно две вершины с нечетной степенью (M и N). Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком. Начать нужно в одной из этих точек (M или N), а закончить в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Конверт без пересечения» может быть нарисована по заданным правилам.

Фигура состоит из овального тела, треугольного хвоста и одного плавника в виде простого отрезка.

Как нарисовать: Нарисуйте овал (тело). В одной его точке (назовем ее $V_{хвост}$) пририсуйте треугольник (хвост) так, чтобы точка $V_{хвост}$ была одной из его вершин. В другой точке овала (назовем ее $V_{плавник}$) проведите наружу один отрезок, который заканчивается в новой точке $V_{конец}$.

Анализ вершин и их степеней:

• Точка соединения хвоста и тела ($V_{хвост}$): здесь сходятся две линии, образующие овал в этой точке, и две стороны треугольника-хвоста. Степень вершины равна $2+2=4$. Четная.
• Две другие вершины хвоста: в каждой сходятся две стороны треугольника. Степень каждой равна 2. Четная.
• Точка крепления плавника ($V_{плавник}$): здесь сходятся две линии овала и линия плавника. Степень вершины равна $2+1=3$. Нечетная.
• Конец плавника ($V_{конец}$): это конечная точка отрезка-плавника. Степень этой вершины равна 1. Нечетная.

В этой фигуре ровно две вершины с нечетной степенью ($V_{плавник}$ и $V_{конец}$). Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком, начав движение в одной из этих точек и закончив в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Рыбка с плавником» может быть нарисована по заданным правилам.

3.134. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 158). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее. Решите задачу:

а) для четырёх колец;

б) для пяти колец.

Рис. 158

Эта задача — известная головоломка «Ханойская башня». Для её решения существует общая формула, которая позволяет вычислить минимальное количество ходов для любого числа колец.

Обозначим минимальное количество ходов для $n$ колец как $M_n$. Чтобы переместить самое большое, $n$-е кольцо, с исходного штырька на целевой, необходимо сначала переместить пирамиду из $n-1$ верхних колец на вспомогательный штырёк. Это действие требует $M_{n-1}$ ходов.
Далее, одним ходом мы перемещаем самое большое ($n$-е) кольцо на целевой штырёк.
Наконец, мы перемещаем пирамиду из $n-1$ колец со вспомогательного штырька на целевой, что снова требует $M_{n-1}$ ходов.

Таким образом, мы получаем рекуррентную формулу: $M_n = M_{n-1} + 1 + M_{n-1} = 2 \cdot M_{n-1} + 1$.
Зная, что для одного кольца ($n=1$) нужен 1 ход ($M_1=1$), можно рассчитать количество ходов для любого числа колец. Эта зависимость выражается общей формулой: $M_n = 2^n - 1$.

а) для четырёх колец;

Применим формулу для $n = 4$:
$M_4 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
Для перемещения четырёх колец потребуется минимум 15 ходов.
Ответ: 15.

б) для пяти колец.

Применим формулу для $n = 5$:
$M_5 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Для перемещения пяти колец потребуется минимум 31 ход.
Ответ: 31.

3.135. Сейчас папе 43 года, а маме 39 лет. Когда Васе было 7 лет, папе было 39 лет. Сколько лет назад Вася был моложе папы в 9 раз, а мамы в 8 раз?

Для решения задачи сначала определим текущий возраст Васи, а затем найдем, сколько лет назад выполнялись указанные условия.

1. Находим возраст Васи.

Из условия известно, что сейчас папе 43 года. Когда папе было 39 лет, с текущего момента прошло $43 - 39 = 4$ года. В то время Васе было 7 лет, следовательно, сейчас его возраст составляет $7 + 4 = 11$ лет.

2. Находим, сколько лет назад Вася был моложе папы в 9 раз, а мамы в 8 раз.

Пусть искомое количество лет равно $x$. Тогда $x$ лет назад возраст каждого из них был:

Возраст Васи: $11 - x$ лет.

Возраст папы: $43 - x$ лет.

Возраст мамы: $39 - x$ лет.

По первому условию (про папу) составим уравнение, в котором возраст папы в 9 раз больше возраста Васи:

$43 - x = 9 \cdot (11 - x)$

Решим это уравнение:

$43 - x = 99 - 9x$

$9x - x = 99 - 43$

$8x = 56$

$x = \frac{56}{8}$

$x = 7$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие (про маму) при $x = 7$. Найдем возраст мамы и Васи 7 лет назад:

Возраст Васи 7 лет назад: $11 - 7 = 4$ года.

Возраст мамы 7 лет назад: $39 - 7 = 32$ года.

Проверим соотношение их возрастов: $32 = 8 \cdot 4$. Условие выполняется, так как мама была в 8 раз старше Васи.

Следовательно, оба условия выполнялись 7 лет назад.

Ответ: 7 лет назад.

3.136 Из шести единичных кубиков сложили многогранник (рис. 159). Определите площадь поверхности этого многогранника и его объём.

Рис. 159

Площадь поверхности

Площадь поверхности многогранника – это сумма площадей всех его внешних граней. Многогранник состоит из единичных кубиков, значит, ребро каждого кубика равно 1, а площадь одной его грани равна $1 \times 1 = 1$ квадратная единица.

Чтобы найти общую площадь поверхности, определим сначала, какая площадь поверхности была бы у шести отдельных кубиков, а затем вычтем из неё площадь "склеенных" граней, которые оказались внутри фигуры.

1. Общее количество граней у шести отдельных кубиков равно:
$N_{всего} = 6 \text{ кубиков} \times 6 \text{ граней/кубик} = 36$ граней.

2. Теперь посчитаем, сколько граней "спрятано" внутри многогранника. Каждое место соприкосновения двух кубиков скрывает две грани (по одной от каждого кубика).
В данной фигуре центральный кубик в основании соприкасается с четырьмя соседними кубиками по бокам и с одним кубиком сверху. Всего получается 5 мест соединения.

3. Количество "спрятанных" граней равно:
$N_{спрятано} = 5 \text{ соединений} \times 2 \text{ грани/соединение} = 10$ граней.

4. Таким образом, количество внешних граней, составляющих поверхность многогранника, равно:
$N_{внешние} = N_{всего} - N_{спрятано} = 36 - 10 = 26$ граней.

5. Поскольку площадь каждой грани равна 1 квадратной единице, общая площадь поверхности многогранника составляет:
$S_{общ} = 26 \times 1 = 26$ квадратных единиц.

Ответ: 26 квадратных единиц.

Объём

Объём многогранника равен сумме объёмов единичных кубиков, из которых он состоит.

Объём одного единичного кубика с ребром $a=1$ вычисляется по формуле $V = a^3$:
$V_{куб} = 1^3 = 1$ кубическая единица.

Так как многогранник состоит из шести таких кубиков, его общий объём равен:
$V_{общий} = 6 \times V_{куб} = 6 \times 1 = 6$ кубических единиц.

Ответ: 6 кубических единиц.

3.137. За столом сидят рыцари — они всегда говорят правду, и лжецы — они всегда лгут. Каждый из сидящих за столом сказал соседу справа: «Вы лжец». Могло ли число сидящих за столом быть:

а) чётным;

б) нечётным?

Для решения этой задачи проанализируем, что означает фраза «Вы лжец», сказанная рыцарем или лжецом. Пусть за столом сидят рыцари, которые всегда говорят правду (Р), и лжецы, которые всегда лгут (Л).

1. Если фразу «Вы лжец» говорит рыцарь, то это утверждение — правда. Значит, его сосед справа действительно является лжецом. Таким образом, справа от любого рыцаря должен сидеть лжец (схема Р → Л).

2. Если фразу «Вы лжец» говорит лжец, то это утверждение — ложь. Значит, его сосед справа на самом деле не лжец, а рыцарь. Таким образом, справа от любого лжеца должен сидеть рыцарь (схема Л → Р).

Из этих двух правил следует, что за столом рыцари и лжецы должны сидеть, чередуясь друг с другом. Последовательность сидящих за столом должна выглядеть как Р, Л, Р, Л, ...

а) Могло ли число сидящих за столом быть чётным?

Да, могло. Если общее число сидящих чётно, например $N = 2k$, где $k \ge 1$, то можно рассадить за столом $k$ рыцарей и $k$ лжецов, чередуя их: Р, Л, Р, Л, ..., Р, Л.

При такой рассадке справа от каждого рыцаря сидит лжец, а справа от каждого лжеца — рыцарь. Когда круг замыкается, справа от последнего лжеца (на $N$-ом месте) оказывается первый рыцарь, что не противоречит условиям.

Например, если за столом сидят 4 человека (Р, Л, Р, Л):

• Первый (Р) говорит второму (Л): «Вы лжец». Это правда.
• Второй (Л) говорит третьему (Р): «Вы лжец». Это ложь.
• Третий (Р) говорит четвертому (Л): «Вы лжец». Это правда.
• Четвертый (Л) говорит первому (Р): «Вы лжец». Это ложь.

Все условия выполнены.

Ответ: да, могло.

б) Могло ли число сидящих за столом быть нечётным?

Нет, не могло. Как мы выяснили, сидящие за столом должны чередоваться. Рассмотрим последовательность для нечётного числа людей $N = 2k+1$.

Если начать с рыцаря, то последовательность будет выглядеть так: Р, Л, Р, Л, ... , Р. То есть и первый, и последний ($N$-й) человек в ряду — рыцари. Но за круглым столом последний сидит рядом с первым. Получается, что справа от последнего рыцаря сидит первый рыцарь (схема Р → Р). Это противоречит правилу, что справа от рыцаря должен сидеть лжец.

Если начать с лжеца, последовательность будет такой: Л, Р, Л, Р, ... , Л. В этом случае и первый, и последний — лжецы. Тогда справа от последнего лжеца будет сидеть первый лжец (схема Л → Л). Это противоречит правилу, что справа от лжеца должен сидеть рыцарь.

Таким образом, при нечётном числе сидящих за столом условия задачи выполнить невозможно.

Ответ: нет, не могло.

3.138. Могут ли за столом оказаться все рыцари — они всегда говорят правду, или все лжецы — они всегда лгут, если известно, что каждый из сидящих за столом сказал своим соседям справа и слева: «Вы рыцарь». Могло ли число сидящих за столом быть:

а) чётным;

б) нечётным?

Для решения задачи проанализируем высказывание «Вы рыцарь» в зависимости от того, кто его произносит — рыцарь или лжец.

1. Если говорящий — рыцарь, он говорит правду. Следовательно, его утверждение «Вы рыцарь» истинно, и его соседи (справа и слева) действительно являются рыцарями.

2. Если говорящий — лжец, он всегда лжет. Следовательно, его утверждение «Вы рыцарь» ложно. Это означает, что его соседи на самом деле не рыцари, а лжецы.

Из этого следует, что соседи рыцаря — всегда рыцари, а соседи лжеца — всегда лжецы. Если за столом сидит хотя бы один рыцарь, то все сидящие должны быть рыцарями. Если же за столом сидит хотя бы один лжец, то все должны быть лжецами. Таким образом, смешанная компания из рыцарей и лжецов невозможна. Возможны только два варианта: за столом сидят либо все рыцари, либо все лжецы.

Проверим оба этих варианта на непротиворечивость:
- Если все за столом — рыцари, то каждый говорит своему соседу-рыцарю: «Вы рыцарь». Это правда, что соответствует поведению рыцарей. Ситуация возможна.
- Если все за столом — лжецы, то каждый говорит своему соседу-лжецу: «Вы рыцарь». Это ложь, что соответствует поведению лжецов. Эта ситуация также возможна.

Таким образом, мы установили, что за столом могут сидеть либо только рыцари, либо только лжецы. Это справедливо для любого числа людей за столом $n \ge 3$ (чтобы у каждого было два разных соседа).

Теперь ответим на вопросы о количестве сидящих.

а) чётным

Да, число сидящих за столом могло быть чётным. Как было показано выше, и ситуация со всеми рыцарями, и ситуация со всеми лжецами возможны при любом количестве участников, если их не меньше трёх. Чётность числа сидящих не является ограничением. Например, за столом могут сидеть 4 человека (все рыцари или все лжецы), и все условия задачи будут выполнены.

Ответ: да, могло.

б) нечётным

Да, число сидящих за столом могло быть и нечётным. Рассуждения полностью аналогичны предыдущему пункту. Ни одна из возможных ситуаций (все рыцари или все лжецы) не накладывает ограничений на нечётность числа участников. Например, за столом могут сидеть 3 человека (все рыцари или все лжецы), и все условия задачи будут соблюдены.

Ответ: да, могло.