Страница 172 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.22. а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?

б) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят каждый час $\frac{1}{4}$ всего пути. Через сколько часов они встретятся?

а) Примем всё первоначальное расстояние между путниками за 1 (единицу). Путники вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Это означает, что всё расстояние (1) они преодолели вместе за 3 часа. Чтобы найти, на какую часть расстояния они сближались каждый час, нужно всё расстояние разделить на время, затраченное на его преодоление.
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$ (часть расстояния в час).
Таким образом, каждый час путники сближались на $\frac{1}{3}$ первоначального расстояния.
Ответ: Каждый час они сближались на $\frac{1}{3}$ часть первоначального расстояния.

б) Примем весь путь, который нужно преодолеть путникам до встречи, за 1 (единицу). В условии задачи сказано, что каждый час они вместе проходят $\frac{1}{4}$ всего пути. Это их совместная скорость или скорость сближения. Чтобы найти, через сколько часов они встретятся, нужно весь путь (1) разделить на скорость сближения ($\frac{1}{4}$ пути в час).
Время до встречи = $1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4$ (часа).
Следовательно, путники встретятся через 4 часа.
Ответ: Они встретятся через 4 часа.

4.23. а) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть этого расстояния он пройдёт за 1 ч; за 2 ч; за 3 ч; за 8 ч?

б) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни?

в) В магазин привезли 200 лампочек; 5 из них оказались неисправными. Какую часть от числа всех лампочек составляют неисправные лампочки?

г) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?

а) Весь путь принимаем за 1. Поезд проходит его за 8 часов. Чтобы найти, какую часть расстояния поезд пройдёт за определённое время, нужно это время разделить на общее время в пути.

• За 1 час поезд пройдёт $\frac{1}{8}$ часть всего расстояния.
• За 2 часа поезд пройдёт $\frac{2}{8}$ часть расстояния. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
• За 3 часа поезд пройдёт $\frac{3}{8}$ часть расстояния.
• За 8 часов поезд пройдёт $\frac{8}{8} = 1$, то есть всё расстояние целиком.

Ответ: за 1 ч поезд пройдёт $\frac{1}{8}$ часть расстояния, за 2 ч — $\frac{1}{4}$, за 3 ч — $\frac{3}{8}$, за 8 ч — 1 (всё расстояние).

б) В неделе 7 дней. Это целое, от которого мы будем находить часть.

• Один день составляет одну из семи частей недели, то есть $\frac{1}{7}$.
• Солнечных дней было 3. Чтобы найти, какую часть недели они составляют, нужно количество солнечных дней разделить на общее количество дней в неделе: $\frac{3}{7}$.

Ответ: один день составляет $\frac{1}{7}$ часть недели, а солнечные дни — $\frac{3}{7}$ части недели.

в) Общее количество лампочек — 200. Количество неисправных лампочек — 5. Чтобы найти, какую часть от всех лампочек составляют неисправные, нужно количество неисправных разделить на общее количество.

Составим дробь: $\frac{5}{200}$.

Эту дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5 \div 5}{200 \div 5} = \frac{1}{40}$.

Ответ: неисправные лампочки составляют $\frac{1}{40}$ часть от числа всех лампочек.

г) Сначала найдём общее количество цветов в букете. Для этого сложим количество розовых и белых цветов.

$4 + 3 = 7$ (цветов)

Всего в букете 7 цветов. Из них 3 — белые. Чтобы найти, какую часть всех цветов составляют белые, нужно количество белых цветов разделить на общее количество цветов.

Получаем дробь: $\frac{3}{7}$.

Ответ: белые цветы составляют $\frac{3}{7}$ часть всех цветов.

4.24 Прочитайте дроби: $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{8}{3}$; $\frac{17}{17}$, $\frac{121}{30}$; $\frac{m}{3}$; $\frac{b}{2}$, $\frac{p}{q}$.

$\frac{1}{2}$

При чтении дроби сначала называют её числитель, а затем знаменатель. Числитель «1» в данном случае читается как количественное числительное женского рода «одна», так как оно согласуется со знаменателем. Знаменатель «2» читается как порядковое числительное в именительном падеже женского рода — «вторая». Соединив числитель и знаменатель, получаем, как читается дробь.

Ответ: одна вторая.

$\frac{2}{5}$

Числитель «2» читается как количественное числительное «две». Знаменатель «5» читается как порядковое числительное в родительном падеже множественного числа — «пятых». Это падежная форма слова «пятая», которая используется, когда числитель равен 2, 3 или 4.

Ответ: две пятых.

$\frac{4}{7}$

Числитель «4» читается как «четыре». Знаменатель «7» читается как порядковое числительное в родительном падеже множественного числа — «седьмых».

Ответ: четыре седьмых.

$\frac{8}{3}$

Числитель «8» читается как «восемь». Знаменатель «3» читается как порядковое числительное в родительном падеже множественного числа — «третьих». Данная падежная форма используется, так как числитель больше 4.

Ответ: восемь третьих.

$\frac{17}{17}$

Числитель «17» читается как «семнадцать». Знаменатель «17» читается как порядковое числительное в родительном падеже множественного числа — «семнадцатых».

Ответ: семнадцать семнадцатых.

$\frac{121}{30}$

Числитель «121» является составным числительным и читается как «сто двадцать одна». Последнее слово «одна» стоит в женском роде, так как согласуется по роду со знаменателем. Знаменатель «30» читается как порядковое числительное в именительном падеже женского рода «тридцатая». Форма именительного падежа используется потому, что числитель оканчивается на «одна».

Ответ: сто двадцать одна тридцатая.

$\frac{m}{3}$

Числитель, обозначенный латинской буквой $m$, читается как «эм». Знаменатель «3» читается как «третьих» (родительный падеж множественного числа).

Ответ: эм третьих.

$\frac{b}{2}$

Числитель, обозначенный латинской буквой $b$, читается как «бэ». Знаменатель «2» читается как «вторых» (родительный падеж множественного числа).

Ответ: бэ вторых.

$\frac{p}{q}$

Числитель, обозначенный латинской буквой $p$, читается как «пэ». Знаменатель, обозначенный латинской буквой $q$, читается как «ку». При чтении дроби знаменатель ставится в родительный падеж, поэтому получаем «кутых».

Ответ: пэ кутых.

4.25. а) Какое число называют рациональным числом?

б) Как ещё называют рациональное число?

в) Является ли натуральное число рациональным числом?

г) Назовите дробные числа: $\frac{1}{3}$, $8$, $\frac{4}{1}$, $\frac{2}{5}$, $0$, $\frac{11}{7}$.

а) Рациональным числом называют число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число.
Ответ: Число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число.

б) Рациональное число также называют дробью.
Ответ: Дробь.

в) Да, любое натуральное число является рациональным. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$, где числитель $n$ — целое число, а знаменатель $1$ — натуральное число. Это соответствует определению рационального числа.
Ответ: Да, является.

г) Дробными числами в данном списке являются те рациональные числа, которые не являются целыми. Проанализируем каждое число:
$\frac{1}{3}$ — дробное число.
$8$ — целое число.
$\frac{4}{1}$ равно $4$, что является целым числом.
$\frac{2}{5}$ — дробное число.
$0$ — целое число.
$\frac{11}{7}$ — дробное число, так как $11$ не делится на $7$ нацело.
Ответ: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{11}{7}$.

4.26 Запишите пять каких-либо обыкновенных дробей. Прочитайте их, назовите числители и знаменатели.

Запишем пять произвольных обыкновенных дробей и для каждой из них укажем, как она читается, а также назовем ее числитель и знаменатель.

1. Дробь $\frac{1}{2}$.
Читается: «одна вторая».
Числитель: 1.
Знаменатель: 2.

2. Дробь $\frac{3}{4}$.
Читается: «три четвертых».
Числитель: 3.
Знаменатель: 4.

3. Дробь $\frac{5}{8}$.
Читается: «пять восьмых».
Числитель: 5.
Знаменатель: 8.

4. Дробь $\frac{2}{3}$.
Читается: «две третьих».
Числитель: 2.
Знаменатель: 3.

5. Дробь $\frac{7}{10}$.
Читается: «семь десятых».
Числитель: 7.
Знаменатель: 10.

Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$.

4.27 Назовите три дроби:

а) с числителем 3;

б) со знаменателем 10.

а) Числитель дроби — это число, которое стоит над чертой. По условию задачи, числитель должен быть равен 3. Знаменатель дроби (число под чертой) может быть любым натуральным числом (целым положительным числом, не равным нулю). Мы можем выбрать любые три разных знаменателя для примера, например, 5, 8 и 17.

Таким образом, мы получаем следующие дроби: $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{17}$.

б) Знаменатель дроби — это число, которое стоит под чертой. По условию, знаменатель должен быть равен 10. Числитель (число над чертой) может быть любым натуральным числом. Мы можем выбрать любые три разных числителя, например, 1, 7 и 23.

Таким образом, мы получаем следующие дроби: $\frac{1}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{23}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{23}{10}$.

4.28 Запишите две дроби, у которых:

а) числитель на 2 больше знаменателя.

$ \frac{3}{1} $, $ \frac{4}{2} $

б) знаменатель на 4 больше числителя.

$ \frac{1}{5} $, $ \frac{2}{6} $

а) числитель на 2 больше знаменателя

Для составления дроби по этому условию необходимо, чтобы число в числителе (сверху) было на 2 единицы больше, чем число в знаменателе (снизу). Формула такой дроби: $ \frac{x+2}{x} $, где $x$ - любое число, кроме нуля.

Подберем два примера:

1. Пусть знаменатель равен 1. Тогда числитель будет $1 + 2 = 3$. Дробь: $ \frac{3}{1} $.

2. Пусть знаменатель равен 7. Тогда числитель будет $7 + 2 = 9$. Дробь: $ \frac{9}{7} $.

Ответ: $ \frac{3}{1} $ и $ \frac{9}{7} $.

б) знаменатель на 4 больше числителя

Для составления дроби по этому условию необходимо, чтобы число в знаменателе (снизу) было на 4 единицы больше, чем число в числителе (сверху). Формула такой дроби: $ \frac{y}{y+4} $, где $y$ - любое число, при котором знаменатель не равен нулю ($y \ne -4$).

Подберем два примера:

1. Пусть числитель равен 1. Тогда знаменатель будет $1 + 4 = 5$. Дробь: $ \frac{1}{5} $.

2. Пусть числитель равен 5. Тогда знаменатель будет $5 + 4 = 9$. Дробь: $ \frac{5}{9} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{5}{9} $.