Страница 171 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.14. a) Потратили $ \frac{1}{2} $ от 400 р. Сколько рублей потратили?

б) Длина верёвки 27 м. Отрезали $ \frac{1}{3} $ её длины. Сколько метров верёвки отрезали?

в) От каната длиной 100 м отрезали $ \frac{3}{4} $ его длины. Сколько метров каната отрезали? Сколько метров осталось?

а) Чтобы найти, сколько рублей потратили, необходимо найти часть от целого. Для этого нужно умножить общую сумму на дробь, соответствующую этой части. В данном случае, нужно найти $\frac{1}{2}$ от 400 рублей.

Выполним вычисление:

$400 \cdot \frac{1}{2} = \frac{400}{2} = 200$ (р.)

Ответ: потратили 200 рублей.

б) Чтобы определить, сколько метров верёвки отрезали, нужно умножить её общую длину на ту часть, которую отрезали. В данном случае, нужно найти $\frac{1}{3}$ от 27 метров.

Выполним вычисление:

$27 \cdot \frac{1}{3} = \frac{27}{3} = 9$ (м)

Ответ: отрезали 9 метров верёвки.

в) Эта задача решается в два действия. Сначала найдём, сколько метров каната отрезали, а затем — сколько метров осталось.

1. Найдём длину отрезанной части каната, для чего умножим общую длину на долю, которую отрезали, то есть на $\frac{3}{4}$:

$100 \cdot \frac{3}{4} = \frac{100 \cdot 3}{4} = 25 \cdot 3 = 75$ (м)

Таким образом, отрезали 75 метров каната.

2. Теперь найдём, сколько метров каната осталось. Для этого из общей длины вычтем длину отрезанной части:

$100 - 75 = 25$ (м)

Таким образом, осталось 25 метров каната.

Ответ: отрезали 75 метров, осталось 25 метров.

4.15. Сколько граммов содержат:

а) $ \frac{3}{10} $ кг;

б) $ \frac{5}{100} $ кг;

в) $ \frac{3}{4} $ кг;

г) $ \frac{3}{5} $ кг?

Для решения этой задачи необходимо знать соотношение между килограммами и граммами. В одном килограмме содержится 1000 граммов.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы найти, сколько граммов содержится в части килограмма, выраженной дробью, нужно эту дробь умножить на 1000.

а)

Чтобы найти, сколько граммов в $\frac{3}{10}$ кг, умножим это значение на 1000:

$\frac{3}{10} \times 1000 = \frac{3 \times 1000}{10} = 3 \times 100 = 300 \text{ г}$

Ответ: 300 г.

б)

Чтобы найти, сколько граммов в $\frac{5}{100}$ кг, умножим это значение на 1000:

$\frac{5}{100} \times 1000 = \frac{5 \times 1000}{100} = 5 \times 10 = 50 \text{ г}$

Ответ: 50 г.

в)

Чтобы найти, сколько граммов в $\frac{3}{4}$ кг, умножим это значение на 1000:

$\frac{3}{4} \times 1000 = \frac{3 \times 1000}{4} = 3 \times 250 = 750 \text{ г}$

Ответ: 750 г.

г)

Чтобы найти, сколько граммов в $\frac{3}{5}$ кг, умножим это значение на 1000:

$\frac{3}{5} \times 1000 = \frac{3 \times 1000}{5} = 3 \times 200 = 600 \text{ г}$

Ответ: 600 г.

4.16. Чему равна:

а) $ \frac{1}{2} $ от 50;

б) $ \frac{1}{3} $ от 45;

в) $ \frac{1}{4} $ от 120;

г) $ \frac{1}{10} $ от 10;

д) $ \frac{1}{20} $ от 80;

е) $ \frac{1}{30} $ от 90?

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. В случае, когда числитель дроби равен 1, это эквивалентно делению числа на знаменатель дроби.

а) Найдем $\frac{1}{2}$ от 50. Для этого необходимо разделить 50 на 2.

$50 \div 2 = 25$

Ответ: 25

б) Найдем $\frac{1}{3}$ от 45. Для этого необходимо разделить 45 на 3.

$45 \div 3 = 15$

Ответ: 15

в) Найдем $\frac{1}{4}$ от 120. Для этого необходимо разделить 120 на 4.

$120 \div 4 = 30$

Ответ: 30

г) Найдем $\frac{1}{10}$ от 10. Для этого необходимо разделить 10 на 10.

$10 \div 10 = 1$

Ответ: 1

д) Найдем $\frac{1}{20}$ от 80. Для этого необходимо разделить 80 на 20.

$80 \div 20 = 4$

Ответ: 4

е) Найдем $\frac{1}{30}$ от 90. Для этого необходимо разделить 90 на 30.

$90 \div 30 = 3$

Ответ: 3

4.17. Вычислите:

а) $\frac{2}{3}$ от 12;

б) $\frac{4}{5}$ от 45;

в) $\frac{3}{7}$ от 140;

г) $\frac{5}{6}$ от 96;

д) $\frac{3}{11}$ от 176;

е) $\frac{5}{3}$ от 6.

а) Чтобы найти $\frac{2}{3}$ от числа 12, необходимо умножить это число на дробь. Для этого можно сначала разделить число на знаменатель дроби, а затем полученный результат умножить на числитель.

1. Находим одну третью часть от 12: $12 : 3 = 4$.

2. Находим две третьих части, умножая результат на 2: $4 \cdot 2 = 8$.

Можно также записать вычисление в одну строчку:

$12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

Ответ: 8

б) Чтобы найти $\frac{4}{5}$ от числа 45, нужно умножить 45 на $\frac{4}{5}$.

1. Находим одну пятую часть от 45: $45 : 5 = 9$.

2. Находим четыре пятых, умножая результат на 4: $9 \cdot 4 = 36$.

Запись в виде одного выражения:

$45 \cdot \frac{4}{5} = \frac{45 \cdot 4}{5} = 9 \cdot 4 = 36$.

Ответ: 36

в) Чтобы найти $\frac{3}{7}$ от числа 140, нужно умножить 140 на $\frac{3}{7}$.

1. Находим одну седьмую часть от 140: $140 : 7 = 20$.

2. Находим три седьмых, умножая результат на 3: $20 \cdot 3 = 60$.

Запись в виде одного выражения:

$140 \cdot \frac{3}{7} = \frac{140 \cdot 3}{7} = 20 \cdot 3 = 60$.

Ответ: 60

г) Чтобы найти $\frac{5}{6}$ от числа 96, нужно умножить 96 на $\frac{5}{6}$.

1. Находим одну шестую часть от 96: $96 : 6 = 16$.

2. Находим пять шестых, умножая результат на 5: $16 \cdot 5 = 80$.

Запись в виде одного выражения:

$96 \cdot \frac{5}{6} = \frac{96 \cdot 5}{6} = 16 \cdot 5 = 80$.

Ответ: 80

д) Чтобы найти $\frac{3}{11}$ от числа 176, нужно умножить 176 на $\frac{3}{11}$.

1. Находим одну одиннадцатую часть от 176: $176 : 11 = 16$.

2. Находим три одиннадцатых, умножая результат на 3: $16 \cdot 3 = 48$.

Запись в виде одного выражения:

$176 \cdot \frac{3}{11} = \frac{176 \cdot 3}{11} = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: 48

е) Чтобы найти $\frac{5}{3}$ от числа 6, нужно умножить 6 на $\frac{5}{3}$.

1. Находим одну третью часть от 6: $6 : 3 = 2$.

2. Находим пять третьих, умножая результат на 5: $2 \cdot 5 = 10$.

Запись в виде одного выражения:

$6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{6 \cdot 5}{3} = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10

4.18. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете?

Первоначальный вес картофеля в пакете составляет 3 кг. Это количество является целым, которое мы принимаем за единицу.

Из пакета взяли 1 кг картофеля. Найдем, сколько килограммов картофеля осталось в пакете. Для этого вычтем из начального веса вес отсыпанного картофеля:
$3 \text{ кг} - 1 \text{ кг} = 2 \text{ кг}$

Теперь определим, какую часть от первоначального веса составляет оставшийся картофель. Для этого нужно разделить массу оставшегося картофеля на общую первоначальную массу:
$\frac{\text{Оставшийся вес}}{\text{Начальный вес}} = \frac{2 \text{ кг}}{3 \text{ кг}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, в пакете осталось $\frac{2}{3}$ части картофеля.
Ответ: $\frac{2}{3}$

4.19. Длина автобусного маршрута 24 км. Определите длину оставшейся части маршрута, если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет:

а) $ \frac{1}{24} $ маршрута;

б) $ \frac{5}{24} $ маршрута;

в) $ \frac{3}{8} $ маршрута.

Общая длина автобусного маршрута составляет 24 км. Чтобы определить длину оставшейся части маршрута, нужно для каждого случая сначала вычислить расстояние, пройденное до первой остановки, а затем вычесть его из общей длины.

Расстояние до первой остановки составляет $\frac{1}{24}$ от всего маршрута. Найдем длину пройденного участка в километрах: $24 \times \frac{1}{24} = 1$ км. Теперь найдем длину оставшейся части маршрута: $24 - 1 = 23$ км.

Ответ: 23 км.

Расстояние до первой остановки составляет $\frac{5}{24}$ от всего маршрута. Найдем длину пройденного участка в километрах: $24 \times \frac{5}{24} = 5$ км. Теперь найдем длину оставшейся части маршрута: $24 - 5 = 19$ км.

Ответ: 19 км.

Расстояние до первой остановки составляет $\frac{3}{8}$ от всего маршрута. Найдем длину пройденного участка в километрах: $24 \times \frac{3}{8} = \frac{24 \times 3}{8} = 3 \times 3 = 9$ км. Теперь найдем длину оставшейся части маршрута: $24 - 9 = 15$ км.

Ответ: 15 км.

4.20. a) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый час?

б) Бассейн наполняется за 5 ч. Какая часть бассейна наполняется за каждый час?

в) Пешеход прошёл некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил за каждый час?

а) Если всю работу принять за 1 (единицу), то для нахождения части работы, выполняемой за 1 час, нужно всю работу разделить на общее время, затраченное на ее выполнение. Общее время выполнения работы — 4 часа.

Производительность (часть работы в час) = $\frac{\text{Вся работа}}{\text{Время выполнения}}$

$1 : 4 = \frac{1}{4}$

Следовательно, за каждый час выполняли $\frac{1}{4}$ часть работы.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Если весь объем бассейна принять за 1 (единицу), то для нахождения части бассейна, которая наполняется за 1 час, нужно весь объем разделить на общее время наполнения. Бассейн наполняется за 5 часов.

Скорость наполнения (часть бассейна в час) = $\frac{\text{Весь объем}}{\text{Время наполнения}}$

$1 : 5 = \frac{1}{5}$

Следовательно, за каждый час наполняется $\frac{1}{5}$ часть бассейна.

Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Если все расстояние, которое прошел пешеход, принять за 1 (единицу), то для нахождения части расстояния, которую он проходил за 1 час, нужно все расстояние разделить на общее время в пути. Пешеход был в пути 6 часов.

Скорость (часть расстояния в час) = $\frac{\text{Все расстояние}}{\text{Время в пути}}$

$1 : 6 = \frac{1}{6}$

Следовательно, за каждый час пешеход проходил $\frac{1}{6}$ часть всего расстояния.

Ответ: $\frac{1}{6}$

4.21. а) Путник проходит в час $\frac{1}{5}$ пути. За сколько часов он пройдёт весь путь?

б) За каждый час труба наполняет $\frac{1}{6}$ бассейна. За сколько часов она наполнит весь бассейн?

в) В каждый день выполняется $\frac{1}{7}$ некоторого задания. За сколько дней будет выполнено всё задание?

а) Чтобы найти общее время, необходимое для прохождения всего пути, нужно разделить весь путь (который мы принимаем за 1) на часть пути, проходимую за час. В данном случае, путник проходит $ \frac{1}{5} $ пути за час. Следовательно, чтобы найти общее время, нужно 1 разделить на $ \frac{1}{5} $.
$ 1 : \frac{1}{5} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5 $ часов.
Ответ: 5 часов.

б) Весь объём бассейна принимаем за 1. За один час труба наполняет $ \frac{1}{6} $ бассейна. Чтобы найти, за сколько часов наполнится весь бассейн, нужно разделить его полный объём (1) на часть, наполняемую за час ($ \frac{1}{6} $).
$ 1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{6}{1} = 6 $ часов.
Ответ: 6 часов.

в) Всё задание принимаем за 1. Каждый день выполняется $ \frac{1}{7} $ всего задания. Чтобы найти, сколько дней потребуется для выполнения всего задания, нужно разделить всё задание (1) на часть, выполняемую за один день ($ \frac{1}{7} $).
$ 1 : \frac{1}{7} = 1 \cdot \frac{7}{1} = 7 $ дней.
Ответ: 7 дней.