Страница 170 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.6. На рисунке 160 изображены часы.

а) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками, считая от минутной стрелки к часовой по их ходу, в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин?

б) Какую часть окружности пройдет конец минутной стрелки: за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин?

в) Какую часть часа составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин?

Рис. 160

а)

Циферблат часов представляет собой окружность, которая разделена на 12 основных (часовых) делений. Таким образом, дуга между двумя соседними часовыми метками составляет $1/12$ всей окружности.

В 6 ч 00 мин минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 6. Если считать от минутной стрелки к часовой по их ходу (по часовой стрелке), то между ними будет 6 часовых делений. Эта часть окружности составляет: $ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $.

В 3 ч 00 мин минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Если считать от минутной стрелки к часовой по их ходу, то между ними будет 3 часовых деления. Эта часть окружности составляет: $ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $.

Ответ: в 6 ч 00 мин — $1/2$ окружности; в 3 ч 00 мин — $1/4$ окружности.

б)

Минутная стрелка совершает полный оборот по окружности за 60 минут. Чтобы найти, какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки за определенное время, нужно это время в минутах разделить на 60 и, если возможно, сократить полученную дробь.

• За 30 мин: $ \frac{30}{60} = \frac{1}{2} $
• За 15 мин: $ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $
• За 20 мин: $ \frac{20}{60} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
• За 45 мин: $ \frac{45}{60} = \frac{3}{4} $
• За 40 мин: $ \frac{40}{60} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Ответ: за 30 мин — $1/2$; за 15 мин — $1/4$; за 20 мин — $1/3$; за 45 мин — $3/4$; за 40 мин — $2/3$.

в)

В одном часе 60 минут. Чтобы определить, какую часть часа составляет определенное количество минут, нужно это количество минут разделить на 60 и, если возможно, сократить полученную дробь.

• 10 мин: $ \frac{10}{60} = \frac{1}{6} $
• 5 мин: $ \frac{5}{60} = \frac{1}{12} $
• 25 мин: $ \frac{25}{60} = \frac{5}{12} $
• 55 мин: $ \frac{55}{60} = \frac{11}{12} $

Ответ: 10 мин составляют $1/6$ часа; 5 мин — $1/12$ часа; 25 мин — $5/12$ часа; 55 мин — $11/12$ часа.

4.7. Перечертите в тетрадь квадрат $4\times4$ клетки (рис. 161). Закрасьте:

а) $\frac{1}{2}$ квадрата;

б) $\frac{1}{4}$ квадрата;

в) $\frac{1}{8}$ квадрата.

Рис. 161

Квадрат состоит из $4 \times 4$ клеток. Сначала найдем общее количество клеток в квадрате:

$4 \times 4 = 16$ клеток.

Теперь, зная общее количество клеток, мы можем найти, какую часть от него нужно закрасить для каждого случая.

а)

Чтобы закрасить $\frac{1}{2}$ квадрата, необходимо найти количество клеток, которое составляет половину от общего числа (16). Для этого общее количество клеток умножим на дробь $\frac{1}{2}$:

$16 \times \frac{1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ клеток.

Следовательно, нужно закрасить 8 клеток из 16. Существует много способов это сделать, например, можно закрасить две верхние строки:

Ответ: нужно закрасить 8 клеток.

б)

Чтобы закрасить $\frac{1}{4}$ квадрата, нужно найти, сколько клеток составляет четверть от общего числа 16. Для этого умножим общее количество клеток на дробь $\frac{1}{4}$:

$16 \times \frac{1}{4} = \frac{16}{4} = 4$ клетки.

Следовательно, нужно закрасить 4 клетки из 16. Например, можно закрасить верхний левый квадрат $2 \times 2$:

Ответ: нужно закрасить 4 клетки.

в)

Чтобы закрасить $\frac{1}{8}$ квадрата, нужно найти, сколько клеток составляет одна восьмая от общего числа 16. Для этого умножим общее количество клеток на дробь $\frac{1}{8}$:

$16 \times \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$ клетки.

Следовательно, нужно закрасить 2 клетки из 16. Например, можно закрасить первые две клетки в первой строке:

Ответ: нужно закрасить 2 клетки.

4.8. На рисунке 162 отрезок $AB$ разделён на 6 равных частей. Какую часть отрезка $AB$ составляет отрезок $AD$?

а) $A$ $D$ $B$

б) $A$ $D$ $B$

в) $A$ $D$ $B$

г) $A$ $D$ $B$

Рис. 162

а) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. На рисунке а) отрезок AD состоит из 2 таких частей. Следовательно, длина отрезка AD составляет $\frac{2}{6}$ от длины отрезка AB. Сократив эту дробь, получаем:
$\frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. На рисунке б) отрезок AD состоит из 3 таких частей. Следовательно, длина отрезка AD составляет $\frac{3}{6}$ от длины отрезка AB. Сократив эту дробь, получаем:
$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. На рисунке в) отрезок AD состоит из 4 таких частей. Следовательно, длина отрезка AD составляет $\frac{4}{6}$ от длины отрезка AB. Сократив эту дробь, получаем:
$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. На рисунке г) отрезок AD состоит из 5 таких частей. Следовательно, длина отрезка AD составляет $\frac{5}{6}$ от длины отрезка AB. Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{6}$

4.9. Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{6}{6}$ этого отрезка.

Для решения задачи необходимо сначала начертить отрезок указанной длины, а затем рассчитать, где на нем будут располагаться отметки, соответствующие заданным долям.

1. С помощью линейки чертим отрезок длиной 6 см.

2. Знаменатель дробей ($\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$) равен 6. Это означает, что весь отрезок нужно мысленно разделить на 6 равных частей. Найдем длину одной такой части:

$6 \text{ см} \div 6 = 1 \text{ см}$

Следовательно, каждая из 6 частей отрезка имеет длину 1 см.

3. Теперь найдем, на каком расстоянии от начала отрезка нужно сделать каждую отметку. Числитель дроби показывает, сколько частей нужно взять.

Для $\frac{1}{6}$ отрезка: нужно взять 1 часть. Отметка ставится на расстоянии $1 \times 1 = 1$ см от начала.
Для $\frac{2}{6}$ отрезка: нужно взять 2 части. Отметка ставится на расстоянии $2 \times 1 = 2$ см от начала.
Для $\frac{3}{6}$ отрезка: нужно взять 3 части. Отметка ставится на расстоянии $3 \times 1 = 3$ см от начала.
Для $\frac{4}{6}$ отрезка: нужно взять 4 части. Отметка ставится на расстоянии $4 \times 1 = 4$ см от начала.
Для $\frac{5}{6}$ отрезка: нужно взять 5 частей. Отметка ставится на расстоянии $5 \times 1 = 5$ см от начала.
Для $\frac{6}{6}$ отрезка: нужно взять 6 частей. Отметка ставится на расстоянии $6 \times 1 = 6$ см от начала (эта отметка совпадает с концом отрезка).

Таким образом, на отрезке длиной 6 см нужно просто поставить отметки через каждый сантиметр.

Ответ: На начерченном отрезке длиной 6 см нужно последовательно отмерить от его начала и отметить точки на расстояниях 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. Эти точки будут соответствовать долям $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$ и $\frac{6}{6}$ отрезка.

4.10. Постройте отрезок $AB = 6$ см. Постройте отрезок $CD$, равный:

а) $\frac{1}{2}AB$;

б) $\frac{1}{3}AB$;

в) $\frac{2}{3}AB$.

По условию задачи дан отрезок $AB = 6$ см. Для построения отрезка $CD$ в каждом из случаев необходимо сначала вычислить его длину.

а) Требуется построить отрезок $CD$, равный $\frac{1}{2}AB$. Вычислим его длину, умножив длину отрезка $AB$ на $\frac{1}{2}$:

$CD = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Следовательно, нужно построить отрезок $CD$ длиной 3 см.

Ответ: 3 см.

б) Требуется построить отрезок $CD$, равный $\frac{1}{3}AB$. Вычислим его длину, умножив длину отрезка $AB$ на $\frac{1}{3}$:

$CD = \frac{1}{3} \times AB = \frac{1}{3} \times 6 \text{ см} = \frac{6}{3} \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Следовательно, нужно построить отрезок $CD$ длиной 2 см.

Ответ: 2 см.

в) Требуется построить отрезок $CD$, равный $\frac{2}{3}AB$. Вычислим его длину, умножив длину отрезка $AB$ на $\frac{2}{3}$:

$CD = \frac{2}{3} \times AB = \frac{2}{3} \times 6 \text{ см} = \frac{2 \times 6}{3} \text{ см} = \frac{12}{3} \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Следовательно, нужно построить отрезок $CD$ длиной 4 см.

Ответ: 4 см.

4.11. Постройте отрезок $AB = 15$ см. Отметьте на этом отрезке точки $C, D, M$ так, чтобы $AC = \frac{1}{3}AB$; $AD = \frac{1}{5}AB$; $AM = \frac{2}{3}AB$.

Для того чтобы построить отрезок $AB$ и отметить на нем точки $C$, $D$ и $M$ в соответствии с условиями задачи, необходимо сначала вычислить расстояния от точки $A$ до каждой из этих точек. Длина отрезка $AB$ по условию равна 15 см.

$AC = \frac{1}{3} AB$
Вычислим длину отрезка $AC$. Для этого подставим значение длины $AB$ в формулу:
$AC = \frac{1}{3} \cdot 15 \text{ см} = \frac{15}{3} \text{ см} = 5 \text{ см}.$
Следовательно, точка $C$ должна быть отмечена на расстоянии 5 см от точки $A$.
Ответ: $AC = 5$ см.

$AD = \frac{1}{5} AB$
Вычислим длину отрезка $AD$. Для этого подставим значение длины $AB$ в формулу:
$AD = \frac{1}{5} \cdot 15 \text{ см} = \frac{15}{5} \text{ см} = 3 \text{ см}.$
Следовательно, точка $D$ должна быть отмечена на расстоянии 3 см от точки $A$.
Ответ: $AD = 3$ см.

$AM = \frac{2}{3} AB$
Вычислим длину отрезка $AM$. Для этого подставим значение длины $AB$ в формулу:
$AM = \frac{2}{3} \cdot 15 \text{ см} = \frac{2 \cdot 15}{3} \text{ см} = \frac{30}{3} \text{ см} = 10 \text{ см}.$
Следовательно, точка $M$ должна быть отмечена на расстоянии 10 см от точки $A$.
Ответ: $AM = 10$ см.

Итоговое построение:
1. С помощью линейки начертите отрезок $AB$ длиной 15 см.
2. От точки $A$ отложите 3 см и отметьте точку $D$.
3. От точки $A$ отложите 5 см и отметьте точку $C$.
4. От точки $A$ отложите 10 см и отметьте точку $M$.
В результате на отрезке $AB$ точки будут расположены в следующем порядке: $A, D, C, M, B$, так как $3 \text{ см} < 5 \text{ см} < 10 \text{ см}$.

4.12. a) Какую часть от 12 см составляет: 6 см; 3 см; 4 см; 1 см?

б) Какую часть от 42 см составляет: 6 см; 7 см; 14 см?

а) Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число (часть) записать в числитель дроби, а второе число (целое) — в знаменатель. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

Найдем, какую часть 6 см составляют от 12 см:
$ \frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

Найдем, какую часть 3 см составляют от 12 см:
$ \frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

Найдем, какую часть 4 см составляют от 12 см:
$ \frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

Найдем, какую часть 1 см составляет от 12 см:
Дробь $ \frac{1}{12} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{1}{12} $.

б)

Найдем, какую часть 6 см составляют от 42 см:
$ \frac{6}{42} = \frac{6 \div 6}{42 \div 6} = \frac{1}{7} $
Ответ: $ \frac{1}{7} $.

Найдем, какую часть 7 см составляют от 42 см:
$ \frac{7}{42} = \frac{7 \div 7}{42 \div 7} = \frac{1}{6} $
Ответ: $ \frac{1}{6} $.

Найдем, какую часть 14 см составляют от 42 см:
$ \frac{14}{42} = \frac{14 \div 14}{42 \div 14} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

4.13. Отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Запишите в виде дроби, какую часть отреза составляет: одна такая часть; две части; три части; четыре части; пять частей. Запишите длины получаемых при этом частей отреза.

Одна такая часть: $1/5$

Две части: $2/5$

Три части: $3/5$

Четыре части: $4/5$

Пять частей: $5/5$

Длина одной части: $15/5$ м $= 3$ м

Длина двух частей: $2 \cdot (15/5)$ м $= 6$ м

Длина трех частей: $3 \cdot (15/5)$ м $= 9$ м

Длина четырех частей: $4 \cdot (15/5)$ м $= 12$ м

Длина пяти частей: $5 \cdot (15/5)$ м $= 15$ м

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо выразить в виде дроби части отреза, а затем найти их фактическую длину в метрах.

1. Нахождение частей отреза в виде дроби.

Весь отрез ткани принимается за единицу (1). Его разрезали на 5 равных частей. Это означает, что знаменатель дроби, показывающей часть от целого, будет равен 5. Числитель будет равен количеству взятых частей.

одна такая часть
Если взять одну часть из пяти, то это составит $\frac{1}{5}$ от всего отреза.
Ответ: $\frac{1}{5}$

две части
Если взять две части из пяти, то это составит $\frac{2}{5}$ от всего отреза.
Ответ: $\frac{2}{5}$

три части
Если взять три части из пяти, то это составит $\frac{3}{5}$ от всего отреза.
Ответ: $\frac{3}{5}$

четыре части
Если взять четыре части из пяти, то это составит $\frac{4}{5}$ от всего отреза.
Ответ: $\frac{4}{5}$

пять частей
Если взять пять частей из пяти, то это составит $\frac{5}{5}$ от всего отреза, что равно 1, то есть весь отрез целиком.
Ответ: $\frac{5}{5}$

2. Нахождение длины получаемых частей.

Общая длина отреза ткани составляет 15 метров. Его разделили на 5 равных частей. Чтобы найти длину одной такой части, нужно общую длину разделить на количество частей.

$15 \text{ м} \div 5 = 3 \text{ м}$

Таким образом, длина каждой из пяти равных частей составляет 3 метра.
Ответ: 3 м.