Страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.128. Старший брат выписал из справочника число $15!$ (см. задачу 3.126), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось:

$15! = 130\text{?}674368000.$

Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15.$

Для того чтобы определить пропавшую цифру в записи числа $15!$, не вычисляя его, можно использовать признаки делимости. Число $15!$ является произведением всех натуральных чисел от 1 до 15: $15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15$. Следовательно, оно должно делиться на все эти числа, в том числе на 9 и на 11, так как 9 и 11 входят в число множителей.

Использование признака делимости на 9

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Пусть пропавшая цифра в числе $130X674368000$ будет $X$.

Найдем сумму всех известных цифр этого числа:

$S_{изв} = 1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38$

Полная сумма цифр числа равна $S = 38 + X$.

Поскольку $15!$ делится на 9, сумма его цифр $S$ также должна быть кратна 9. При этом $X$ является цифрой, то есть может принимать целые значения от 0 до 9. Это означает, что сумма $S = 38 + X$ может находиться в диапазоне от $38 + 0 = 38$ до $38 + 9 = 47$.

Единственное число в интервале $[38, 47]$, которое делится на 9 без остатка, – это 45.

Отсюда получаем уравнение:

$38 + X = 45$

$X = 45 - 38$

$X = 7$

Таким образом, мы определили, что недостающая цифра – это 7.

Проверка с помощью признака делимости на 11

Для проверки результата можно использовать признак делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр делится на 11. Для числа $130X674368000$ эта сумма вычисляется так (считая слева направо):

$1 - 3 + 0 - X + 6 - 7 + 4 - 3 + 6 - 8 + 0 - 0 + 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 + 0 + 6 + 4 + 6 + 0 + 0) - (3 + X + 7 + 3 + 8 + 0) = 17 - (21 + X) = -4 - X$

Полученное выражение $-4 - X$ должно делиться на 11. Учитывая, что $X$ — это цифра от 0 до 9, значение выражения может быть от $-4 - 0 = -4$ до $-4 - 9 = -13$.

Единственное кратное 11 число в этом диапазоне $[-13, -4]$ — это -11.

Следовательно:

$-4 - X = -11$

$X = 11 - 4$

$X = 7$

Проверка подтверждает наш результат.

Ответ: 7

3.129. а) Имеются ли среди чисел $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, $6!$, $7!$, ... (см. задачу 3.126) взаимно простые числа?

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел $100!$ и $50!$?

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел $100!$ и $50!$?

а) Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... взаимно простые числа?

Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Рассмотрим два любых числа из данной последовательности: $n!$ и $m!$, где $n, m \ge 2$. Без ограничения общности предположим, что $m > n$.

По определению факториала: $m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot m$

В этом произведении можно выделить множитель $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Таким образом, число $m!$ можно представить в виде: $m! = n! \cdot ((n+1) \cdot \ldots \cdot m)$

Это означает, что число $m!$ всегда делится нацело на число $n!$ при $m > n$. Наибольшим общим делителем двух чисел, одно из которых делится на другое, является меньшее из этих чисел. Следовательно: $НОД(n!, m!) = n!$

Поскольку последовательность начинается с числа $2!$, то наименьшее возможное значение для $n$ равно 2. Это значит, что $n! \ge 2! = 2$. Таким образом, наибольший общий делитель любых двух чисел из данной последовательности всегда будет больше или равен 2, и никогда не будет равен 1. Следовательно, в этой последовательности нет взаимно простых чисел.

Ответ: нет.

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!?

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $100!$ и $50!$ воспользуемся определением факториала. $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 50 \cdot 51 \cdot \ldots \cdot 100$

Можно заметить, что произведение первых 50 натуральных чисел равно $50!$: $100! = (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 50) \cdot (51 \cdot 52 \cdot \ldots \cdot 100) = 50! \cdot (51 \cdot 52 \cdot \ldots \cdot 100)$

Из этого равенства видно, что $100!$ является кратным $50!$, то есть $100!$ делится на $50!$ без остатка. Если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел. В данном случае меньшее число — это $50!$.

Ответ: $50!$.

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Как было показано в пункте б), число $100!$ делится на $50!$.

Рассмотрим число $100!$:

• $100!$ делится на $100!$.
• $100!$ делится на $50!$.

Следовательно, $100!$ является общим кратным для чисел $100!$ и $50!$. По определению, НОК не может быть меньше большего из данных чисел, то есть не может быть меньше $100!$. Таким образом, $100!$ является наименьшим общим кратным. В общем случае, если число $b$ кратно числу $a$, то $НОК(a, b) = b$.

Ответ: $100!$.

3.130. Задачи на рисование линии по указанным ранее правилам можно усложнить. Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом, чтобы линия не пересекала себя. Например, «конверт», изображённый на рисунке 153, а, можно нарисовать, как на рисунке 153, б.

Нарисуйте фигуру (рис. 154), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так, чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке.

Указание. Фигуру следует раскрасить в шахматном порядке, отсоединить закрашенные области друг от друга так, чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой-либо другой закрашенной областью. Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру (рис. 155).

Рис. 154

Рис. 155

а) б) Рис. 153

Задача заключается в том, чтобы нарисовать фигуру, изображенную на рис. 154, одной непрерывной линией, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя ни одну линию дважды и не пересекая уже нарисованную часть линии.

Такие задачи решаются с помощью теории графов. Фигуру можно представить как граф, где отрезки линий и дуги являются рёбрами, а точки их пересечения — вершинами.

Для того чтобы граф можно было начертить одним росчерком (не отрывая карандаша и не проводя по одному ребру дважды), он должен быть связным и иметь не более двух вершин с нечётной степенью (количеством рёбер, выходящих из вершины).

• Если в графе нет нечётных вершин, его можно начертить одним росчерком, при этом путь будет замкнутым (эйлеров цикл), то есть начало и конец пути совпадут.
• Если в графе ровно две нечётные вершины, его можно начертить одним росчерком, но путь будет незамкнутым (эйлеров путь). Он начнётся в одной из нечётных вершин и закончится в другой.
• Если в графе более двух нечётных вершин, начертить его одним росчерком невозможно.

Проанализируем фигуру на рис. 154 как граф.

1. Определение вершин и их степеней

У фигуры есть 5 вершин:

• Вершина O — центр окружности, где пересекаются два диаметра. Из этой точки выходят 4 отрезка (радиуса). Степень этой вершины равна 4. $deg(O) = 4$ (чётная).
• Вершина N — верхняя точка на окружности. Здесь сходятся 3 линии: один радиус и две дуги окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(N) = 3$ (нечётная).
• Вершина S — нижняя точка на окружности. Аналогично, степень этой вершины равна 3. $deg(S) = 3$ (нечётная).
• Вершина W — левая точка на окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(W) = 3$ (нечётная).
• Вершина E — правая точка на окружности. Степень этой вершины равна 3. $deg(E) = 3$ (нечётная).

2. Анализ возможности начертания фигуры

В рассматриваемом графе есть четыре вершины нечётной степени (N, S, W, E). Согласно теореме Эйлера, граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Для начертания этой фигуры потребуется как минимум $4/2 = 2$ росчерка (две отдельные непрерывные линии).

Дополнительное условие о том, что линия не должна пересекать саму себя, только усложняет задачу, но не может сделать невозможную задачу возможной. Это условие относится к способу прохождения пути по графу (например, в вершине O с чётной степенью 4 можно пройти "насквозь", что создаст самопересечение, или "повернуть", что его избежит), но оно не меняет фундаментальные свойства самого графа (количество нечётных вершин).

3. Вывод

На основании анализа с помощью теории графов можно сделать вывод, что данную фигуру невозможно нарисовать, соблюдая все условия задачи (не отрывая карандаш и не проводя линии дважды). Указание, данное в задаче, может относиться к решению похожих, но возможных задач (как с "конвертом"), либо к построению связанной, но другой фигуры, как показано на рис. 155. Однако строгое выполнение поставленной задачи для фигуры на рис. 154 невозможно.

Ответ: Задачу решить невозможно, так как представленная фигура (граф) имеет четыре вершины нечётной степени, а для того, чтобы нарисовать фигуру одним росчерком, необходимо, чтобы таких вершин было не более двух.