Номер 3.128, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.128. Старший брат выписал из справочника число $15!$ (см. задачу 3.126), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось:

$15! = 130\text{?}674368000.$

Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15.$

Для того чтобы определить пропавшую цифру в записи числа $15!$, не вычисляя его, можно использовать признаки делимости. Число $15!$ является произведением всех натуральных чисел от 1 до 15: $15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15$. Следовательно, оно должно делиться на все эти числа, в том числе на 9 и на 11, так как 9 и 11 входят в число множителей.

Использование признака делимости на 9

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Пусть пропавшая цифра в числе $130X674368000$ будет $X$.

Найдем сумму всех известных цифр этого числа:

$S_{изв} = 1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38$

Полная сумма цифр числа равна $S = 38 + X$.

Поскольку $15!$ делится на 9, сумма его цифр $S$ также должна быть кратна 9. При этом $X$ является цифрой, то есть может принимать целые значения от 0 до 9. Это означает, что сумма $S = 38 + X$ может находиться в диапазоне от $38 + 0 = 38$ до $38 + 9 = 47$.

Единственное число в интервале $[38, 47]$, которое делится на 9 без остатка, – это 45.

Отсюда получаем уравнение:

$38 + X = 45$

$X = 45 - 38$

$X = 7$

Таким образом, мы определили, что недостающая цифра – это 7.

Проверка с помощью признака делимости на 11

Для проверки результата можно использовать признак делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр делится на 11. Для числа $130X674368000$ эта сумма вычисляется так (считая слева направо):

$1 - 3 + 0 - X + 6 - 7 + 4 - 3 + 6 - 8 + 0 - 0 + 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 + 0 + 6 + 4 + 6 + 0 + 0) - (3 + X + 7 + 3 + 8 + 0) = 17 - (21 + X) = -4 - X$

Полученное выражение $-4 - X$ должно делиться на 11. Учитывая, что $X$ — это цифра от 0 до 9, значение выражения может быть от $-4 - 0 = -4$ до $-4 - 9 = -13$.

Единственное кратное 11 число в этом диапазоне $[-13, -4]$ — это -11.

Следовательно:

$-4 - X = -11$

$X = 11 - 4$

$X = 7$

Проверка подтверждает наш результат.

Ответ: 7