Номер 3.122, страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.122. a) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: $P = n^2 + n + 41$. Для любых ли натуральных $n$ число $P$ простое?

б) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле $P = n^2 + n + 41$, если брать последовательные натуральные числа, начиная с $n = 1$?

а)

Чтобы ответить на вопрос, нужно проверить, всегда ли формула $P = n^2 + n + 41$ дает простое число при любом натуральном $n$. Для опровержения утверждения достаточно найти хотя бы один пример (контрпример), когда это не так.

Проверим формулу для нескольких первых значений $n$:

При $n=1$: $P = 1^2 + 1 + 41 = 43$ (простое число).
При $n=2$: $P = 2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$ (простое число).
При $n=3$: $P = 3^2 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53$ (простое число).

Для малых $n$ формула действительно дает простые числа. Теперь попробуем найти контрпример. Заметим, что формулу можно представить в виде $P = n(n+1) + 41$. Если одно из слагаемых будет кратно 41, то и вся сумма может быть кратна 41.

Рассмотрим $n=40$. Подставим это значение в формулу:

$P = 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681$.

Число 1681 является составным, так как оно равно $41^2$. Действительно, $1681 : 41 = 41$.

Используя преобразованную формулу:

$P(40) = 40(40+1) + 41 = 40 \times 41 + 1 \times 41 = (40+1) \times 41 = 41 \times 41 = 41^2$.

Так как мы нашли натуральное число $n=40$, при котором число $P$ является составным, то формула неверна для любых натуральных $n$.

Ответ: Нет, не для любых. Например, при $n=40$ число $P$ является составным.

б)

В этом пункте требуется найти, сколько различных простых чисел можно получить, подставляя в формулу $P = n^2 + n + 41$ последовательные натуральные числа, начиная с $n=1$. Это означает, что мы должны вычислять значения $P(n)$ для $n=1, 2, 3, \dots$ и остановиться, когда впервые получим составное число. Затем нужно посчитать количество простых чисел, которые мы получили до этого момента.

Из пункта а) мы знаем, что при $n=40$ формула дает составное число $P(40)=1681$.

Известно, что данный многочлен (многочлен Эйлера) дает простые числа для всех целых значений $n$ от 0 до 39. Так как мы рассматриваем натуральные числа, начиная с $n=1$, то для всех $n$ от 1 до 39 значения $P(n)$ будут простыми числами.

Таким образом, мы получаем последовательность простых чисел при $n = 1, 2, 3, \dots, 39$. Количество таких значений $n$ равно 39.

Далее необходимо убедиться, что все эти 39 простых чисел являются различными. Рассмотрим функцию $P(n) = n^2 + n + 41$. При $n \ge 1$ эта функция является строго возрастающей, так как с увеличением $n$ оба слагаемых $n^2$ и $n$ увеличиваются, а значит, и их сумма $P(n)$ тоже увеличивается. Следовательно, для разных значений $n$ мы будем получать разные значения $P$.

Таким образом, для $n$ от 1 до 39 мы получим 39 различных простых чисел.

Ответ: 39.