Номер 3.123, страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.123. Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.

Отметим, что:

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Научитесь выполнять этот фокус.

Секрет фокуса основан на свойствах чётности и нечётности чисел. Давайте разберем его математически.

Пусть в правой руке спрятана монета номиналом $П$ рублей, а в левой — $Л$ рублей. По условию, одна из монет — 5 рублей (нечётное число), а другая — 2 рубля (чётное число).

Фокусник просит вычислить сумму $S = П \cdot 2 + Л \cdot 3$.

Рассмотрим слагаемые этой суммы:

• Первое слагаемое: $П \cdot 2$. Поскольку любое целое число, умноженное на 2, становится чётным, это слагаемое всегда чётное, независимо от того, какая монета находится в правой руке.
• Второе слагаемое: $Л \cdot 3$. Поскольку 3 — нечётное число, чётность этого произведения зависит только от чётности числа $Л$. Если $Л$ — чётное, то и $Л \cdot 3$ будет чётным. Если $Л$ — нечётное, то и $Л \cdot 3$ будет нечётным.

Теперь рассмотрим чётность всей суммы $S$. Сумма чётного числа ($П \cdot 2$) и числа $Л \cdot 3$ будет иметь ту же чётность, что и $Л \cdot 3$, а значит, ту же чётность, что и само число $Л$.

Таким образом:

• Если сообщённая сумма $S$ — чётная, это значит, что число $Л$ (номинал монеты в левой руке) тоже чётное. Из двух монет (2 и 5) чётной является только двухрублёвая. Значит, в левой руке — 2 рубля.
• Если сообщённая сумма $S$ — нечётная, это значит, что число $Л$ (номинал монеты в левой руке) — нечётное. Из двух монет нечётной является пятирублёвая. Значит, в левой руке 5 рублей, а двухрублёвая — в правой.

Секрет фокуса заключается в том, что один из множителей (в данном случае 2) — чётный, что "скрывает" чётность монеты в соответствующей руке, а другой множитель (3) — нечётный, что "проявляет" чётность монеты во второй руке, тем самым позволяя её определить.

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

Ключевое условие для работы фокуса — монеты должны иметь разную чётность. Одна должна быть чётного номинала, а другая — нечётного. Это позволяет однозначно определить монету, зная только её чётность.

• Пара 1 рубль (нечётное) и 2 рубля (чётное): подойдёт, так как монеты разной чётности.
• Пара 5 рублей (нечётное) и 10 рублей (чётное): подойдёт, так как монеты разной чётности.
• Пара 1 рубль (нечётное) и 5 рублей (нечётное): не подойдёт. Если фокусник определит, что в руке нечётная монета, он не сможет сказать, какая именно — рублёвая или пятирублёвая.

Ответ: фокус работает только тогда, когда номиналы используемых монет имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Ключевое условие для множителей — они также должны иметь разную чётность. Один множитель должен быть чётным, а другой — нечётным. Чётный множитель "скрывает" чётность монеты в одной руке, а нечётный — "показывает" чётность монеты в другой.

• Пара множителей 2 (чётное) и 5 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 4 (чётное) и 5 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 6 (чётное) и 9 (нечётное): подойдёт.
• Пара множителей 3 (нечётное) и 5 (нечётное): не подойдёт. Если оба множителя нечётные, то сумма $S = П \cdot 3 + Л \cdot 5$. Чётность $П \cdot 3$ совпадает с чётностью $П$, а чётность $Л \cdot 5$ — с чётностью $Л$. Чётность суммы $S$ будет зависеть от чётности суммы $П + Л$. Поскольку у нас одна монета чётная, а другая нечётная, их сумма ($П + Л$) всегда будет нечётной. Значит, и итоговая сумма $S$ всегда будет нечётной, вне зависимости от расположения монет. Фокусник не получит никакой информации. (Аналогично, если оба множителя чётные, итоговая сумма всегда будет чётной).

Ответ: для фокуса необходимо, чтобы один из множителей был чётным, а другой — нечётным.

Научитесь выполнять этот фокус.

Чтобы выполнить фокус, нужно следовать простому алгоритму:

1. Подготовка монет: Возьмите две монеты с номиналами разной чётности. Например, 1 рубль (нечётный) и 10 рублей (чётный).
2. Выбор множителей: Заранее выберите два числа-множителя разной чётности. Например, 4 (чётный) и 7 (нечётный).
3. Инструкция: Попросите человека спрятать по одной монете в каждую руку. Затем дайте ему чёткую инструкцию, запомнив, какой множитель к какой руке относится. Например: "Умножь число рублей в правой руке на 4, а в левой руке — на 7. Сложи результаты и скажи мне только, чётное или нечётное число у тебя получилось".
4. Разгадка: Вы применили нечётный множитель (7) к левой руке. Это значит, что чётность итоговой суммы будет такой же, как и чётность монеты в левой руке.
   • Если вам сказали "чётное", значит, в левой руке монета с чётным номиналом (10 рублей).
   • Если вам сказали "нечётное", значит, в левой руке монета с нечётным номиналом (1 рубль).

Зная, какая монета в левой руке, вы легко определяете, какая осталась в правой.

Ответ: для выполнения фокуса нужно взять монеты разной чётности (например, 5 и 10 рублей), назначить рукам множители разной чётности (например, 6 для правой и 3 для левой), и по чётности итоговой суммы определить чётность монеты в той руке, которую умножали на нечётное число.