Номер 3.129, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.129. а) Имеются ли среди чисел $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, $6!$, $7!$, ... (см. задачу 3.126) взаимно простые числа?

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел $100!$ и $50!$?

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел $100!$ и $50!$?

а) Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... взаимно простые числа?

Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Рассмотрим два любых числа из данной последовательности: $n!$ и $m!$, где $n, m \ge 2$. Без ограничения общности предположим, что $m > n$.

По определению факториала: $m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \cdot (n+1) \cdot \ldots \cdot m$

В этом произведении можно выделить множитель $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Таким образом, число $m!$ можно представить в виде: $m! = n! \cdot ((n+1) \cdot \ldots \cdot m)$

Это означает, что число $m!$ всегда делится нацело на число $n!$ при $m > n$. Наибольшим общим делителем двух чисел, одно из которых делится на другое, является меньшее из этих чисел. Следовательно: $НОД(n!, m!) = n!$

Поскольку последовательность начинается с числа $2!$, то наименьшее возможное значение для $n$ равно 2. Это значит, что $n! \ge 2! = 2$. Таким образом, наибольший общий делитель любых двух чисел из данной последовательности всегда будет больше или равен 2, и никогда не будет равен 1. Следовательно, в этой последовательности нет взаимно простых чисел.

Ответ: нет.

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!?

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $100!$ и $50!$ воспользуемся определением факториала. $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 50 \cdot 51 \cdot \ldots \cdot 100$

Можно заметить, что произведение первых 50 натуральных чисел равно $50!$: $100! = (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 50) \cdot (51 \cdot 52 \cdot \ldots \cdot 100) = 50! \cdot (51 \cdot 52 \cdot \ldots \cdot 100)$

Из этого равенства видно, что $100!$ является кратным $50!$, то есть $100!$ делится на $50!$ без остатка. Если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел. В данном случае меньшее число — это $50!$.

Ответ: $50!$.

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Как было показано в пункте б), число $100!$ делится на $50!$.

Рассмотрим число $100!$:

• $100!$ делится на $100!$.
• $100!$ делится на $50!$.

Следовательно, $100!$ является общим кратным для чисел $100!$ и $50!$. По определению, НОК не может быть меньше большего из данных чисел, то есть не может быть меньше $100!$. Таким образом, $100!$ является наименьшим общим кратным. В общем случае, если число $b$ кратно числу $a$, то $НОК(a, b) = b$.

Ответ: $100!$.