Номер 3.133, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.133. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений.

Задача о рисовании фигур одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, решается с помощью раздела математики под названием теория графов. Любую такую фигуру можно представить как граф, где точки соединения линий (углы, пересечения, концы линий) являются вершинами, а сами линии — ребрами.

Ключевым понятием является степень вершины — это количество ребер (линий), которые сходятся в данной вершине. Фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она является связной (состоит из одного «куска») и выполняется одно из двух условий, известных как теорема Эйлера:

1. Все вершины фигуры имеют четную степень. В этом случае путь можно начать в любой вершине и закончить в ней же (такой путь называется Эйлеровым циклом).
2. В фигуре ровно две вершины с нечетной степенью. В этом случае путь необходимо начать в одной из этих нечетных вершин, а закончить — в другой (такой путь называется Эйлеровой цепью).

Если в фигуре больше двух вершин с нечетной степенью, нарисовать ее одним росчерком невозможно. Условие «без самопересечений» означает, что при рисовании линии не должны пересекать друг друга.

Ниже представлены несколько придуманных фигур, которые удовлетворяют этим правилам.

Эта фигура представляет собой два стандартных «домика» (квадрат с треугольной крышей), которые имеют общую центральную стену.

Как нарисовать: Нарисуйте прямоугольник и разделите его пополам вертикальной линией. Эта линия будет общей стеной. Над левой и правой половинами прямоугольника достройте по треугольной крыше так, чтобы их стороны опирались на эту общую стену.

Анализ вершин и их степеней:

• Две нижние крайние вершины: степень каждой равна 2 (горизонтальная и вертикальная линии). Это четное число.
• Две верхние вершины основания (где стены соединяются с крышами по краям): к каждой подходит одна боковая стена, одна сторона крыши и одна половина основания. Степень каждой равна 3. Это нечетное число.
• Вершина, где соединяются две крыши и общая стена: сюда подходят две стороны от двух крыш и верхняя часть общей стены. Степень равна 3. Стоп, тут ошибка в рассуждении. Давайте точнее: Вершины: 2 нижних внешних, 2 верхних внешних (где крыша касается стены), 2 на коньке крыши, 2 на основании общей стены. Всего 8 вершин. Нет, это не так. Давайте считать ребра, входящие в узлы. Узлы: 2 нижних внешних угла, 2 верхних внешних угла (где крыша встречается с боковой стеной), 2 конька крыши, 1 узел где общая стена касается земли, 1 узел где общая стена встречается с крышами. 1. Два нижних внешних угла: степень 2. Четная. 2. Два конька крыши: степень 2. Четная. 3. Узел, где общая стена касается земли: степень 3 (два отрезка основания + сама стена). Нечетная. 4. Узел, где общая стена встречается с крышами: степень 4 (сама стена + две стороны левой крыши + две стороны правой крыши). Нет, тут 3 ребра: стена и 2 ската крыш. Степень 3. Нечетная. 5. Два верхних внешних угла: степень 3 (боковая стена, скат крыши, половина основания). Нечетная. Получается 6 нечетных вершин. Этот пример не подходит.

Давайте исправим фигуру, чтобы она работала. Возьмем два домика, но соединим их не стеной, а вершинами крыш.

Фигура состоит из двух одинаковых «домиков» (квадрат с треугольной крышей), соединенных вершинами своих крыш.

Как нарисовать: Нарисуйте один «домик». Затем нарисуйте второй такой же, но перевернутый, так чтобы вершина его крыши совпала с вершиной крыши первого домика.

Анализ вершин и их степеней:

• Центральная точка соединения (вершины двух крыш): сюда сходятся 4 линии (по две от каждой крыши). Степень этой вершины равна $2+2=4$. Четная.
• Вершины, где крыши соединяются со стенами (всего 4): в каждой сходятся 3 линии (стена, основание, скат крыши). Степень каждой равна 3. Нечетная.
• Нижние углы квадратов (всего 4): степень каждой вершины равна 2. Четная.

В этой фигуре 4 вершины с нечетной степенью. Этот пример тоже не подходит. Задача оказалась сложнее, чем кажется.

Попробуем третий раз.

Эта фигура представляет собой шестиугольник, на каждой стороне которого наружу построен треугольник.

Как нарисовать: Нарисуйте правильный шестиугольник. Затем на каждой его стороне, как на основании, постройте наружу по треугольнику.

Анализ вершин и их степеней:

• Вершины исходного шестиугольника (их 6): в каждой такой вершине сходятся две стороны шестиугольника и две стороны от двух соседних треугольников. Таким образом, степень каждой из этих вершин равна $2+2=4$. Четная.
• Внешние вершины треугольников (их 6, по одной на каждый треугольник): в каждой такой вершине сходятся две стороны одного треугольника. Степень каждой из этих вершин равна 2. Четная.

Все 12 вершин этой фигуры имеют четную степень. Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком, начав и закончив путь в любой вершине. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Кристалл» может быть нарисована по заданным правилам.

Эта фигура похожа на конверт, но нарисована так, чтобы избежать пересечения линий. Она состоит из прямоугольника, и к двум его соседним вершинам присоединен «уголок».

Как нарисовать: Нарисуйте прямоугольник ABCD. Выберите одну из вершин, например, A. От этой вершины проведите два отрезка: один к середине стороны BC (точка M) и один к середине стороны CD (точка N).

Анализ вершин и их степеней:

• Вершина A: к ней подходят две стороны прямоугольника (AB и AD) и два новых отрезка (AM и AN). Ее степень равна $2+2=4$. Четная.
• Вершины B и D: степень каждой равна 2. Четная.
• Вершина C: степень равна 2. Четная.
• Вершина M (на стороне BC): здесь сходятся два сегмента стороны BC (BM и MC) и отрезок AM. Ее степень равна $2+1=3$. Нечетная.
• Вершина N (на стороне CD): здесь сходятся два сегмента стороны CD (CN и ND) и отрезок AN. Ее степень равна $2+1=3$. Нечетная.

В этой фигуре ровно две вершины с нечетной степенью (M и N). Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком. Начать нужно в одной из этих точек (M или N), а закончить в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Конверт без пересечения» может быть нарисована по заданным правилам.

Фигура состоит из овального тела, треугольного хвоста и одного плавника в виде простого отрезка.

Как нарисовать: Нарисуйте овал (тело). В одной его точке (назовем ее $V_{хвост}$) пририсуйте треугольник (хвост) так, чтобы точка $V_{хвост}$ была одной из его вершин. В другой точке овала (назовем ее $V_{плавник}$) проведите наружу один отрезок, который заканчивается в новой точке $V_{конец}$.

Анализ вершин и их степеней:

• Точка соединения хвоста и тела ($V_{хвост}$): здесь сходятся две линии, образующие овал в этой точке, и две стороны треугольника-хвоста. Степень вершины равна $2+2=4$. Четная.
• Две другие вершины хвоста: в каждой сходятся две стороны треугольника. Степень каждой равна 2. Четная.
• Точка крепления плавника ($V_{плавник}$): здесь сходятся две линии овала и линия плавника. Степень вершины равна $2+1=3$. Нечетная.
• Конец плавника ($V_{конец}$): это конечная точка отрезка-плавника. Степень этой вершины равна 1. Нечетная.

В этой фигуре ровно две вершины с нечетной степенью ($V_{плавник}$ и $V_{конец}$). Следовательно, ее можно нарисовать одним росчерком, начав движение в одной из этих точек и закончив в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура «Рыбка с плавником» может быть нарисована по заданным правилам.