Номер 3.138, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.138. Могут ли за столом оказаться все рыцари — они всегда говорят правду, или все лжецы — они всегда лгут, если известно, что каждый из сидящих за столом сказал своим соседям справа и слева: «Вы рыцарь». Могло ли число сидящих за столом быть:

а) чётным;

б) нечётным?

Для решения задачи проанализируем высказывание «Вы рыцарь» в зависимости от того, кто его произносит — рыцарь или лжец.

1. Если говорящий — рыцарь, он говорит правду. Следовательно, его утверждение «Вы рыцарь» истинно, и его соседи (справа и слева) действительно являются рыцарями.

2. Если говорящий — лжец, он всегда лжет. Следовательно, его утверждение «Вы рыцарь» ложно. Это означает, что его соседи на самом деле не рыцари, а лжецы.

Из этого следует, что соседи рыцаря — всегда рыцари, а соседи лжеца — всегда лжецы. Если за столом сидит хотя бы один рыцарь, то все сидящие должны быть рыцарями. Если же за столом сидит хотя бы один лжец, то все должны быть лжецами. Таким образом, смешанная компания из рыцарей и лжецов невозможна. Возможны только два варианта: за столом сидят либо все рыцари, либо все лжецы.

Проверим оба этих варианта на непротиворечивость:
- Если все за столом — рыцари, то каждый говорит своему соседу-рыцарю: «Вы рыцарь». Это правда, что соответствует поведению рыцарей. Ситуация возможна.
- Если все за столом — лжецы, то каждый говорит своему соседу-лжецу: «Вы рыцарь». Это ложь, что соответствует поведению лжецов. Эта ситуация также возможна.

Таким образом, мы установили, что за столом могут сидеть либо только рыцари, либо только лжецы. Это справедливо для любого числа людей за столом $n \ge 3$ (чтобы у каждого было два разных соседа).

Теперь ответим на вопросы о количестве сидящих.

а) чётным

Да, число сидящих за столом могло быть чётным. Как было показано выше, и ситуация со всеми рыцарями, и ситуация со всеми лжецами возможны при любом количестве участников, если их не меньше трёх. Чётность числа сидящих не является ограничением. Например, за столом могут сидеть 4 человека (все рыцари или все лжецы), и все условия задачи будут выполнены.

Ответ: да, могло.

б) нечётным

Да, число сидящих за столом могло быть и нечётным. Рассуждения полностью аналогичны предыдущему пункту. Ни одна из возможных ситуаций (все рыцари или все лжецы) не накладывает ограничений на нечётность числа участников. Например, за столом могут сидеть 3 человека (все рыцари или все лжецы), и все условия задачи будут соблюдены.

Ответ: да, могло.