Номер 3.116, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.116. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Задачу о рисовании фигур одним росчерком можно решить, проанализировав их с точки зрения теории графов. Ключевым понятием является «вершина» — точка, в которой соединяются линии. Количество линий, сходящихся в вершине, называется ее степенью. Вершина бывает четной (если ее степень 2, 4, 6 и т.д.) или нечетной (если ее степень 1, 3, 5 и т.д.).

Фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, если она является связной (состоит из одного куска) и имеет не более двух нечетных вершин.

• Если все вершины фигуры четные, ее можно нарисовать, начав из любой точки и закончив в ней же.
• Если в фигуре ровно две нечетные вершины, ее можно нарисовать, только если начать в одной из этих нечетных вершин и закончить в другой.
• Если нечетных вершин больше двух, нарисовать фигуру одним росчерком невозможно.

Основываясь на этом правиле, можно придумать множество фигур. Вот несколько примеров.

Фигура 1: «Бабочка»

Эта фигура состоит из двух треугольников, соприкасающихся в одной общей вершине. У этой фигуры 5 вершин. Давайте проанализируем их степени:
- Центральная (общая) вершина: в ней сходятся 4 линии (по две от каждого треугольника). Ее степень — 4 (четная).
- Остальные 4 вершины («крылья бабочки»): в каждой из них сходятся по 2 линии. Их степень — 2 (четная).
Все вершины этой фигуры — четные. Следовательно, «Бабочку» можно нарисовать одним росчерком, причем можно начать и закончить в любой точке.

Фигура 2: «Домик»

Эта фигура состоит из квадрата («стены») и треугольника («крыша»), построенного на верхней стороне квадрата. У этой фигуры 5 вершин:
- Две нижние вершины квадрата: в каждой сходятся по 2 линии (две стороны). Их степень — 2 (четная).
- Вершина треугольника («конёк»): в ней сходятся 2 линии (скаты крыши). Ее степень — 2 (четная).
- Две верхние вершины квадрата (они же — основание крыши): в каждой из них сходятся 3 линии (боковая стена, верхняя стена-основание, скат крыши). Их степень — 3 (нечетная).
В этой фигуре ровно две нечетные вершины. Значит, ее можно нарисовать одним росчерком, если начать в одной из верхних вершин квадрата и закончить в другой.

Ответ: Примерами фигур, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, являются «Бабочка» (фигура, у которой все вершины четные) и «Домик» (фигура, у которой ровно две нечетные вершины).