Номер 3.113, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.113. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 147.

а) б) в) Рис. 147

Для решения этой задачи используется правило из теории графов, которое определяет, можно ли начертить фигуру одним росчерком (является ли граф уникурсальным). Фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, только в том случае, если количество вершин (точек, в которых сходятся или пересекаются линии), имеющих нечетную степень (в которых сходится нечетное число линий), равно нулю или двум. Если таких вершин больше двух, то нарисовать фигуру одним росчерком невозможно. Проанализируем каждую фигуру с этой точки зрения.

а)

Рассмотрим зеленую фигуру. Вершинами в ней являются точки пересечения и окончания линий. Определим степень каждой вершины, то есть сосчитаем, сколько линий в ней сходится.

В этой фигуре можно выделить несколько групп вершин:

• Центральная точка, где пересекаются два диаметра. В ней сходятся 4 отрезка, поэтому ее степень равна 4 (четная).
• Четыре точки на окружности, в которых ее пересекают диаметры. В каждой такой точке сходится один отрезок диаметра и две дуги окружности. Степень каждой из этих вершин равна $1 + 2 = 3$ (нечетная).
• Четыре вершины вписанного квадрата, которые лежат на окружности. В каждой такой вершине сходятся две стороны квадрата и две дуги окружности. Степень каждой из этих вершин равна $2 + 2 = 4$ (четная).

В итоге, у данной фигуры есть четыре вершины с нечетной степенью. Поскольку количество нечетных вершин (4) больше двух, нарисовать эту фигуру одним росчерком невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.

б)

Рассмотрим красную фигуру. Вершинами в ней являются центр окружности и четыре вершины квадрата, лежащие на окружности.

• Центральная точка, где пересекаются диагонали квадрата. В ней сходятся 4 отрезка, составляющих диагонали. Степень этой вершины равна 4 (четная).
• Четыре вершины квадрата, лежащие на окружности. В каждой такой вершине сходятся две стороны квадрата, один отрезок диагонали, ведущий к центру, и две дуги окружности. Таким образом, степень каждой из этих вершин равна $2 + 1 + 2 = 5$ (нечетная).

В этой фигуре четыре вершины с нечетной степенью. Следовательно, нарисовать ее, не отрывая карандаша от бумаги, невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.

в)

Рассмотрим синюю фигуру, которая является двумерным изображением куба. Вершинами в этой фигуре являются 8 углов куба.

• Из каждого угла куба выходит по три ребра. На представленном рисунке это соответствует трем линиям, сходящимся в каждой из 8 вершин. Таким образом, степень каждой из 8 вершин равна 3 (нечетная).

Поскольку в этой фигуре 8 вершин с нечетной степенью, что больше двух, нарисовать ее одним росчерком невозможно.

Ответ: Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша и не проводя по линии дважды, невозможно.