Номер 3.114, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.114. В задании 3.113 вам не удалось нарисовать две последние фигуры. Рис. 147

Оказывается, этот результат зависит от числа нечётных узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько нечётных узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать?

Эта задача относится к разделу теории графов и связана с так называемыми Эйлеровыми путями. Возможность нарисовать фигуру одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды) определяется количеством "нечётных узлов".

Нечётный узел — это точка (вершина), в которой сходится нечётное число линий (рёбер).

Рассмотрим логику, лежащую в основе этого правила:

• Каждый раз, когда мы рисуем линию, проходя через узел, который не является начальной или конечной точкой, мы используем одну линию для "входа" в узел и одну для "выхода". Это значит, что для каждого такого промежуточного узла линии используются парами. Следовательно, все промежуточные узлы должны быть чётными (в них должно сходиться чётное число линий).
• Особыми являются только начальная и конечная точки пути.

Существует два случая, когда фигуру можно нарисовать:

1. В фигуре нет нечётных узлов.

Если все узлы в фигуре чётные, то количество нечётных узлов равно $0$. В этом случае мы можем начать рисование в любом узле и, обойдя все линии, вернёмся в исходный узел. Такой замкнутый путь называется Эйлеровым циклом.

2. В фигуре ровно два нечётных узла.

Если в фигуре есть нечётные узлы, то для возможности её нарисовать их должно быть ровно два. Один из них будет начальной точкой пути, а другой — конечной. У начального узла одна линия "уходит" без "приходящей" пары, а у конечного одна линия "приходит" без "уходящей" пары, поэтому эти два узла нечётные. Все остальные узлы должны быть чётными. Такой путь называется Эйлеровым путём.

Если в фигуре больше двух нечётных узлов (кстати, их число всегда чётно — четыре, шесть и т.д.), то нарисовать её одним росчерком невозможно. Для каждой пары нечётных узлов (старт-финиш) требуется отдельная непрерывная линия.

Таким образом, фигуры, которые вам не удалось нарисовать в предыдущем задании, скорее всего, имели четыре или более нечётных узла.

Ответ: Чтобы фигуру можно было нарисовать, в ней должно быть $0$ или $2$ нечётных узла.