Номер 3.109, страница 158 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.109. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?

Проанализируем, как изменяется общее количество листов бумаги после каждой операции.

Изначально имеется 9 листов. Каждая операция заключается в том, что один из имеющихся листов разрывается на несколько новых частей.

Рассмотрим два варианта действий:
1. Если лист разрывают на 7 частей, то один старый лист заменяется семью новыми. В результате общее количество листов увеличивается на $7 - 1 = 6$.
2. Если лист разрывают на 9 частей, то один старый лист заменяется девятью новыми. В результате общее количество листов увеличивается на $9 - 1 = 8$.

Обратим внимание, что приращение количества листов в обоих случаях является четным числом (6 или 8). Изначальное количество листов — 9, это нечетное число. При добавлении четного числа к нечетному, результат всегда будет нечетным.

Таким образом, после первой операции количество листов станет $9 + 6 = 15$ или $9 + 8 = 17$ (в обоих случаях — нечетное число). Каждая последующая операция также будет прибавлять четное число к нечетному, сохраняя нечетность общего количества листов.

Следовательно, после любого количества таких операций общее число частей бумаги будет нечетным. Число 100, которое требуется получить, является четным. Значит, получить 100 частей невозможно.

Проверим это алгебраически. Пусть $x$ — это количество операций разрыва на 7 частей, а $y$ — количество операций разрыва на 9 частей. Тогда итоговое количество листов $N$ можно найти по формуле:
$N = 9 + 6x + 8y$

Требуется выяснить, может ли $N$ быть равным 100. Составим уравнение:
$100 = 9 + 6x + 8y$
Перенесем 9 в левую часть:
$100 - 9 = 6x + 8y$
$91 = 6x + 8y$

В правой части уравнения вынесем общий множитель 2 за скобки:
$91 = 2(3x + 4y)$

Левая часть уравнения (91) — нечетное число. Правая часть уравнения, $2(3x + 4y)$, при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ будет четным числом, так как содержит множитель 2. Равенство между нечетным и четным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет, нельзя.