Страница 158 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.107. Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел. Петя их не видел, но утверждает, что по количеству записанных чисел легко определит, чётная или нечётная у них сумма. Прав ли Петя?

Да, Петя абсолютно прав. Чётность суммы нечётных чисел зависит исключительно от того, сколько чисел складывается.

Проанализируем это свойство на примерах.
Сумма двух нечётных чисел всегда чётная: $3 + 7 = 10$.
Сумма трёх нечётных чисел всегда нечётная: $3 + 7 + 5 = 15$.
Сумма четырёх нечётных чисел снова чётная: $3 + 7 + 5 + 9 = 24$.

Из этого следует закономерность:
1. Сумма чётного количества нечётных чисел всегда чётна.
2. Сумма нечётного количества нечётных чисел всегда нечётна.

Это можно доказать математически. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Предположим, Вася записал $n$ нечётных чисел. Их сумма $S$ будет равна:
$S = (2k_1+1) + (2k_2+1) + \dots + (2k_n+1)$
Перегруппируем слагаемые: $S = (2k_1 + 2k_2 + \dots + 2k_n) + (1+1+\dots+1)$, где единица повторяется $n$ раз.
Это выражение можно записать как $S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$.
Первое слагаемое, $2(k_1 + k_2 + \dots + k_n)$, всегда является чётным числом, так как оно делится на 2. Следовательно, чётность всей суммы $S$ полностью определяется чётностью второго слагаемого — числа $n$.
- Если $n$ (количество чисел) — чётное, то сумма $S$ (чётное + чётное) будет чётной.
- Если $n$ (количество чисел) — нечётное, то сумма $S$ (чётное + нечётное) будет нечётной.

Таким образом, зная только количество записанных чисел, Петя действительно может определить чётность их суммы, не зная самих чисел.
Ответ: Да, Петя прав.

3.108. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых нечётные числа. Не ошибается ли он?

Да, утверждающий ошибается. Давайте разберемся почему, используя свойства чётных и нечётных чисел.

Пусть у нас есть четыре натуральных числа: $a, b, c$ и $d$.

Условие 1: Произведение нечётное.
Произведение нескольких натуральных чисел $a \cdot b \cdot c \cdot d$ является нечётным тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей ($a, b, c, d$) является нечётным числом. Если бы хотя бы одно из чисел было чётным, то и всё произведение стало бы чётным.
Следовательно, из первого условия мы делаем вывод, что все четыре числа — нечётные.

Условие 2: Сумма нечётная.
Теперь проверим, может ли сумма четырёх нечётных чисел быть нечётной. Рассмотрим сумму $a + b + c + d$, где каждое слагаемое — нечётное число.

Вспомним правила сложения:
нечётное + нечётное = чётное
чётное + чётное = чётное
нечётное + чётное = нечётное

Сгруппируем слагаемые попарно:
$a + b$ (сумма двух нечётных) = чётное число.
$c + d$ (сумма двух нечётных) = чётное число.

Тогда их общая сумма будет: $(a + b) + (c + d)$ = (чётное число) + (чётное число) = чётное число.

Получается противоречие: из первого условия следует, что все числа должны быть нечётными, но в этом случае их сумма обязательно будет чётной, что противоречит второму условию. Следовательно, найти такие четыре натуральных числа невозможно.

Ответ: Да, он ошибается.

3.109. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?

Проанализируем, как изменяется общее количество листов бумаги после каждой операции.

Изначально имеется 9 листов. Каждая операция заключается в том, что один из имеющихся листов разрывается на несколько новых частей.

Рассмотрим два варианта действий:
1. Если лист разрывают на 7 частей, то один старый лист заменяется семью новыми. В результате общее количество листов увеличивается на $7 - 1 = 6$.
2. Если лист разрывают на 9 частей, то один старый лист заменяется девятью новыми. В результате общее количество листов увеличивается на $9 - 1 = 8$.

Обратим внимание, что приращение количества листов в обоих случаях является четным числом (6 или 8). Изначальное количество листов — 9, это нечетное число. При добавлении четного числа к нечетному, результат всегда будет нечетным.

Таким образом, после первой операции количество листов станет $9 + 6 = 15$ или $9 + 8 = 17$ (в обоих случаях — нечетное число). Каждая последующая операция также будет прибавлять четное число к нечетному, сохраняя нечетность общего количества листов.

Следовательно, после любого количества таких операций общее число частей бумаги будет нечетным. Число 100, которое требуется получить, является четным. Значит, получить 100 частей невозможно.

Проверим это алгебраически. Пусть $x$ — это количество операций разрыва на 7 частей, а $y$ — количество операций разрыва на 9 частей. Тогда итоговое количество листов $N$ можно найти по формуле:
$N = 9 + 6x + 8y$

Требуется выяснить, может ли $N$ быть равным 100. Составим уравнение:
$100 = 9 + 6x + 8y$
Перенесем 9 в левую часть:
$100 - 9 = 6x + 8y$
$91 = 6x + 8y$

В правой части уравнения вынесем общий множитель 2 за скобки:
$91 = 2(3x + 4y)$

Левая часть уравнения (91) — нечетное число. Правая часть уравнения, $2(3x + 4y)$, при любых целых неотрицательных $x$ и $y$ будет четным числом, так как содержит множитель 2. Равенство между нечетным и четным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет, нельзя.