Страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.87 Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) взаимно простых чисел, необходимо сначала вспомнить определения этих понятий.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. То есть, у них нет общих простых множителей. Например, числа 8 и 9 являются взаимно простыми, так как $НОД(8, 9) = 1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Существует основное свойство, связывающее НОК и НОД двух произвольных натуральных чисел $a$ и $b$:

$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Из этой формулы можно выразить НОК:

$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

Поскольку для взаимно простых чисел по определению $НОД(a, b) = 1$, мы можем подставить это значение в формулу:

$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{1} = a \cdot b$

Таким образом, мы приходим к выводу, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Например, для взаимно простых чисел 7 и 10:
$НОД(7, 10) = 1$.
$НОК(7, 10) = 7 \cdot 10 = 70$.

Ответ: Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

3.88. Найдите несколько чисел, кратных 10, и несколько чисел, кратных 15. Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15?

Найдите несколько чисел, кратных 10
Числа, кратные 10, — это числа, которые делятся на 10 без остатка. Чтобы их найти, можно последовательно умножать число 10 на натуральные числа (1, 2, 3, 4 и т.д.).
$10 \cdot 1 = 10$
$10 \cdot 2 = 20$
$10 \cdot 3 = 30$
$10 \cdot 4 = 40$
$10 \cdot 5 = 50$
Таким образом, ряд чисел, кратных 10, выглядит так: 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
Ответ: 10, 20, 30, 40, 50.

Найдите несколько чисел, кратных 15
Аналогично, чтобы найти числа, кратные 15, нужно умножать число 15 на натуральные числа.
$15 \cdot 1 = 15$
$15 \cdot 2 = 30$
$15 \cdot 3 = 45$
$15 \cdot 4 = 60$
$15 \cdot 5 = 75$
Ряд чисел, кратных 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
Ответ: 15, 30, 45, 60, 75.

Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15
Общие кратные — это числа, которые делятся и на 10, и на 15 одновременно. Чтобы их найти, сравним списки кратных для каждого числа и выберем совпадающие значения.
Кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...
Кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...
Как видно из списков, общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120 и т.д.
Ответ: 30, 60, 90.

Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15?
Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое натуральное число, которое является кратным для обоих чисел. Из списка общих кратных, который мы нашли выше (30, 60, 90, ...), наименьшим является число 30.
Также НОК можно найти с помощью разложения чисел на простые множители:
Разложим число 10: $10 = 2 \cdot 5$
Разложим число 15: $15 = 3 \cdot 5$
Для нахождения НОК, выпишем множители первого числа ($2 \cdot 5$) и добавим к ним недостающие множители из второго числа (в данном случае это множитель 3):
$НОК(10, 15) = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$
Ответ: 30.

3.89. Найдите:

а) $\text{НОК}(6, 8);$

б) $\text{НОК}(15, 25);$

в) $\text{НОК}(16, 12);$

г) $\text{НОК}(48, 42);$

д) $\text{НОК}(35, 20);$

е) $\text{НОК}(56, 63).$

а) НОК (6, 8);

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), необходимо разложить данные числа на простые множители.

Разложение числа 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$

Разложение числа 8 на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Теперь возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их. Наибольшая степень для множителя 2 это $2^3$, а для множителя 3 это $3^1$.

$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Ответ: 24

б) НОК (15, 25);

Разложим числа 15 и 25 на простые множители.

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$

Разложение числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени из разложений. Наибольшая степень для 3 это $3^1$, для 5 это $5^2$.

$НОК(15, 25) = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$

Ответ: 75

в) НОК (16, 12);

Разложим числа 16 и 12 на простые множители.

Разложение числа 16: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени. Наибольшая степень для 2 это $2^4$, для 3 это $3^1$.

$НОК(16, 12) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$

Ответ: 48

г) НОК (48, 42);

Разложим числа 48 и 42 на простые множители.

Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$

Разложение числа 42: $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени. Наибольшая степень для 2 это $2^4$, для 3 это $3^1$, для 7 это $7^1$.

$НОК(48, 42) = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336$

Ответ: 336

д) НОК (35, 20);

Разложим числа 35 и 20 на простые множители.

Разложение числа 35: $35 = 5 \cdot 7$

Разложение числа 20: $20 = 2 \cdot 10 = 2^2 \cdot 5$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени. Наибольшая степень для 2 это $2^2$, для 5 это $5^1$, для 7 это $7^1$.

$НОК(35, 20) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$

Ответ: 140

е) НОК (56, 63);

Разложим числа 56 и 63 на простые множители.

Разложение числа 56: $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$

Разложение числа 63: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени. Наибольшая степень для 2 это $2^3$, для 3 это $3^2$, для 7 это $7^1$.

$НОК(56, 63) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$

Ответ: 504

3.90. Найдите:

а) $ \text{НОК} (6, 12); $

б) $ \text{НОК} (40, 8); $

в) $ \text{НОК} (51, 17); $

г) $ \text{НОК} (33, 3); $

д) $ \text{НОК} (34, 2); $

е) $ \text{НОК} (16, 48). $

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Для решения данной задачи воспользуемся свойством НОК: если одно число (a) делится на другое число (b) без остатка, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел (a). Это свойство применимо ко всем парам чисел в данном задании.

а) НОК (6, 12)

Проверим, делится ли большее число 12 на меньшее число 6: $12 \div 6 = 2$. Так как 12 делится на 6 без остатка, то НОК(6, 12) = 12.

Ответ: 12

б) НОК (40, 8)

Проверим, делится ли 40 на 8: $40 \div 8 = 5$. Так как 40 кратно 8, то НОК(40, 8) = 40.

Ответ: 40

в) НОК (51, 17)

Проверим, делится ли 51 на 17: $51 \div 17 = 3$. Так как 51 кратно 17, то НОК(51, 17) = 51.

Ответ: 51

г) НОК (33, 3)

Проверим, делится ли 33 на 3: $33 \div 3 = 11$. Так как 33 кратно 3, то НОК(33, 3) = 33.

Ответ: 33

д) НОК (34, 2)

Проверим, делится ли 34 на 2: $34 \div 2 = 17$. Так как 34 кратно 2, то НОК(34, 2) = 34.

Ответ: 34

е) НОК (16, 48)

Проверим, делится ли 48 на 16: $48 \div 16 = 3$. Так как 48 кратно 16, то НОК(16, 48) = 48.

Ответ: 48

3.91. Число 123 454 321 делится на 11 111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения чисел на простые множители.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Пусть даны два числа: $a = 123\,454\,321$ и $b = 11\,111$.

По условию задачи, число $a$ делится на число $b$. Это означает, что $a$ является кратным числу $b$.

Существует свойство наименьшего общего кратного: если одно число (например, $a$) делится на другое число ($b$), то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел, то есть $a$.

Проверим это свойство. Мы ищем наименьшее число $m$, которое делится и на $a$, и на $b$.

1. Число $a$ делится на $a$ (по определению, $a = 1 \cdot a$).

2. Число $a$ делится на $b$ (по условию задачи).

Следовательно, $a$ является общим кратным для чисел $a$ и $b$. Любое другое положительное кратное числа $a$ будет больше самого числа $a$. Значит, $a$ — это наименьшее из всех возможных общих кратных.

Таким образом, $НОК(123\,454\,321, 11\,111) = 123\,454\,321$.

Примечание: можно заметить, что $11\,111^2 = 123\,454\,321$, что подтверждает делимость первого числа на второе.

Ответ: $123\,454\,321$

3.92. Найдите:

а) $HOK(135, 5);$

б) $HOK(120, 10);$

в) $HOK(432, 2);$

г) $HOK(234, 9);$

д) $HOK(123, 3);$

е) $HOK(16, 64).$

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) в данных задачах используется свойство: если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих чисел является их наименьшим общим кратным.

а) НОК (135, 5);

Проверим, делится ли 135 на 5. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Число 135 оканчивается на 5, значит оно кратно 5.

$135 \div 5 = 27$

Поскольку 135 делится на 5 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 135.

б) НОК (120, 10);

Проверим, делится ли 120 на 10. Число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Число 120 оканчивается на 0, значит оно кратно 10.

$120 \div 10 = 12$

Поскольку 120 делится на 10 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 120.

в) НОК (432, 2);

Проверим, делится ли 432 на 2. Число делится на 2, если оно является четным. Число 432 оканчивается на 2, значит оно четное и кратно 2.

$432 \div 2 = 216$

Поскольку 432 делится на 2 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 432.

г) НОК (234, 9);

Проверим, делится ли 234 на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 234 равна:

$2 + 3 + 4 = 9$

Сумма цифр (9) делится на 9, значит и число 234 кратно 9.

$234 \div 9 = 26$

Поскольку 234 делится на 9 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 234.

д) НОК (123, 3);

Проверим, делится ли 123 на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 123 равна:

$1 + 2 + 3 = 6$

Сумма цифр (6) делится на 3, значит и число 123 кратно 3.

$123 \div 3 = 41$

Поскольку 123 делится на 3 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 123.

е) НОК (16, 64).

Проверим, делится ли большее число 64 на меньшее число 16.

$64 \div 16 = 4$

Поскольку 64 делится на 16 без остатка, НОК этих чисел равен большему из них.

Ответ: 64.

3.93 Известно, что число $a$ делится нацело на число $b$. Чему равно НОК $(a, b)$?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел — это самое маленькое натуральное число, которое является кратным им обоим, то есть делится на каждое из них без остатка.

Пусть $\text{НОК}(a, b) = c$. По определению, число $c$ должно удовлетворять двум условиям:

1. $c$ делится на $a$ ($c \vdots a$)

2. $c$ делится на $b$ ($c \vdots b$)

Кроме того, $c$ должно быть наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим этим условиям.

Из первого условия следует, что $c$ не может быть меньше $a$ (поскольку кратные натурального числа $a$ — это $a, 2a, 3a, \dots$). Таким образом, $c \ge a$.

Теперь рассмотрим число $a$. Проверим, является ли оно общим кратным для $a$ и $b$.

1. Число $a$ делится на $a$ ($a:a = 1$).

2. По условию задачи, число $a$ делится на $b$.

Оба условия выполняются, значит, $a$ — это общее кратное чисел $a$ и $b$.

Мы установили, что наименьшее общее кратное $c$ не может быть меньше $a$ ($c \ge a$), и в то же время мы нашли общее кратное, которое равно $a$. Это означает, что $a$ и есть наименьшее возможное общее кратное.

Следовательно, если число $a$ делится нацело на число $b$, то их наименьшее общее кратное равно $a$.

Например, для чисел $a=18$ и $b=3$: $18$ делится на $3$. $\text{НОК}(18, 3) = 18$.

Ответ: $a$