Страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.104. Какой наименьшей длины может быть верёвка, чтобы её можно было разрезать без остатков на куски:

а) как по 4 м, так и по 5 м;

б) как по 4 м, так и по 6 м?

а) как по 4 м, так и по 5 м;

Чтобы верёвку можно было разрезать без остатка как на куски по 4 метра, так и на куски по 5 метров, её длина должна быть кратна одновременно и 4, и 5. Наименьшая такая длина будет равна наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Поскольку числа 4 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению.

$НОК(4, 5) = 4 \times 5 = 20$

Следовательно, наименьшая длина верёвки составляет 20 метров.

Ответ: 20 м.

б) как по 4 м, так и по 6 м?

В этом случае длина верёвки должна быть кратна одновременно и 4, и 6. Нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Разложим числа на простые множители:

$4 = 2 \times 2$

$6 = 2 \times 3$

Для нахождения НОК возьмём множители большего числа (6) и добавим недостающие множители из разложения меньшего числа (4). В разложении числа 6 есть одна двойка, а в разложении числа 4 — две. Значит, нужно добавить ещё одну двойку.

$НОК(4, 6) = 2 \times 3 \times 2 = 12$

Следовательно, наименьшая длина верёвки составляет 12 метров.

Ответ: 12 м.

3.105. Мальчик хочет купить несколько порций мороженого по 60 р., но у него только 100-рублёвые банкноты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число порций мороженого он может купить?

Пусть $N$ – искомое наименьшее число порций мороженого. Стоимость одной порции составляет 60 рублей, значит, общая стоимость $N$ порций равна $60 \cdot N$ рублей.

По условию, у мальчика есть только 100-рублёвые банкноты, а у продавца нет сдачи. Это означает, что общая стоимость покупки должна быть такой, чтобы её можно было оплатить целым числом 100-рублёвых банкнот без получения сдачи. Следовательно, общая стоимость $60 \cdot N$ должна быть кратна 100.

Задача сводится к нахождению наименьшего натурального числа $N$, для которого произведение $60 \cdot N$ делится на 100. Это эквивалентно поиску наименьшего общего кратного (НОК) для чисел 60 и 100, которое и будет минимальной суммой покупки.

Найдем НОК(60, 100). Для этого разложим числа на простые множители:
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(60, 100) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$.

Таким образом, минимальная стоимость покупки, которую можно оплатить без сдачи, составляет 300 рублей. Теперь определим, сколько порций мороженого ($N$) можно купить на эту сумму:
$N = \frac{Общая \ стоимость}{Стоимость \ одной \ порции} = \frac{300}{60} = 5$.

Мальчик может купить 5 порций мороженого, заплатив за них 300 рублей (три банкноты по 100 рублей).
Ответ: 5.

3.106. Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая — 28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать?

Чтобы помеченные зубцы снова соприкоснулись, общее число зубцов, прошедших через точку сцепления, должно быть кратно как числу зубцов первой шестерёнки (16), так и числу зубцов второй (28). Поскольку нас интересует, когда это произойдет в первый раз, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) этих двух чисел.

1. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 28.

Для этого разложим оба числа на простые множители:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

Теперь найдём НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножив их:

$НОК(16, 28) = 2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$.

Это означает, что метки на зубцах снова совпадут после того, как через точку сцепления пройдёт 112 зубцов.

2. Определим число оборотов для каждой шестерёнки.

Чтобы найти, сколько полных оборотов сделает каждая шестерёнка за это время, нужно разделить НОК на количество зубцов в соответствующей шестерёнке.

Количество оборотов для первой шестерёнки (с 16 зубцами):

$\frac{112}{16} = 7$ оборотов.

Количество оборотов для второй шестерёнки (с 28 зубцами):

$\frac{112}{28} = 4$ оборота.

Ответ: шестерёнка с 16 зубцами сделает 7 оборотов, а шестерёнка с 28 зубцами — 4 оборота.