Страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.53. а) Что называют делителем натурального числа; простым делителем натурального числа?

б) Что значит разложить число на простые множители?

а) Делителем натурального числа $a$ называют такое натуральное число $b$, на которое $a$ делится без остатка. Это означает, что существует такое натуральное число $c$, для которого выполняется равенство $a = b \cdot c$.
Например, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12, так как $12 = 1 \cdot 12$, $12 = 2 \cdot 6$ и $12 = 3 \cdot 4$.

Простым делителем натурального числа называют такой его делитель, который является простым числом. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.
Например, у числа 12 делители — это 1, 2, 3, 4, 6, 12. Из них простыми числами являются 2 и 3. Следовательно, простые делители числа 12 — это 2 и 3.

Ответ: Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число $b$, на которое $a$ делится нацело. Простым делителем натурального числа называют его делитель, являющийся простым числом.

б) Разложить число на простые множители — это значит представить данное составное число в виде произведения простых чисел. Такое представление является уникальным для каждого составного числа (согласно основной теореме арифметики) с точностью до порядка множителей.

Например, разложим на простые множители число 90.
1. Находим наименьший простой делитель числа 90. Это 2. Делим: $90 \div 2 = 45$.
2. Находим наименьший простой делитель результата (45). Это 3. Делим: $45 \div 3 = 15$.
3. Находим наименьший простой делитель результата (15). Это 3. Делим: $15 \div 3 = 5$.
4. Результат 5 — простое число. Делим его на само себя: $5 \div 5 = 1$.
Когда в результате деления получается 1, разложение окончено.
Теперь записываем исходное число в виде произведения всех найденных простых делителей: $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.
Используя степени, можно записать это в более компактном виде: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Ответ: Разложить число на простые множители означает представить его в виде произведения простых чисел.

3.54. Укажите все делители числа:

а) 2;

б) 6;

в) 12;

г) 16;

д) 18;

е) 20;

ж) 1;

з) 48;

и) 100;

к) 104;

л) 121;

м) 256.

а) 2
Делителем числа называется целое число, на которое данное число делится без остатка. Число 2 является простым, так как оно делится только на 1 и на само себя.
Проверим деление:
$2 \div 1 = 2$
$2 \div 2 = 1$
Таким образом, у числа 2 всего два делителя.
Ответ: 1, 2.

б) 6
Чтобы найти все делители числа 6, нужно найти все целые числа от 1 до 6, на которые 6 делится без остатка.
$6 \div 1 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$6 \div 3 = 2$
$6 \div 6 = 1$
Делители можно сгруппировать в пары, произведение которых равно 6: $1 \times 6$ и $2 \times 3$.
Ответ: 1, 2, 3, 6.

в) 12
Найдем все делители числа 12. Это числа, на которые 12 делится нацело. Можно найти их, перебирая числа от 1 до 12 или находя пары множителей.
Пары множителей для 12:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$3 \times 4 = 12$
Перечислив все множители в порядке возрастания, получим все делители.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

г) 16
Чтобы найти все делители числа 16, можно разложить его на простые множители. Число 16 является степенью числа 2: $16 = 2^4$.
Следовательно, его делителями будут все степени числа 2 от $2^0$ до $2^4$.
$2^0 = 1$
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16.

д) 18
Найдем все делители числа 18. Для этого найдем пары чисел, произведение которых равно 18.
$1 \times 18 = 18$
$2 \times 9 = 18$
$3 \times 6 = 18$
Запишем все найденные множители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

е) 20
Найдем все делители числа 20. Это все целые числа, на которые 20 делится без остатка. Найдем пары множителей.
$1 \times 20 = 20$
$2 \times 10 = 20$
$4 \times 5 = 20$
Перечислим все множители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

ж) 1
Число 1 имеет только один натуральный делитель. Это число 1, так как любое число делится на 1, и 1 делится только на само себя.
$1 \div 1 = 1$
Ответ: 1.

з) 48
Чтобы найти все делители числа 48, разложим его на простые множители: $48 = 2 \times 24 = 2^2 \times 12 = 2^3 \times 6 = 2^4 \times 3$.
Делители образуются всеми возможными комбинациями этих простых множителей. Делители, не содержащие 3: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16$. Делители, содержащие 3: $3 \times 1=3, 3 \times 2=6, 3 \times 4=12, 3 \times 8=24, 3 \times 16=48$. Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

и) 100
Найдем все делители числа 100. Разложим 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2$.
Делители числа 100 — это все возможные комбинации произведений множителей ($2^0, 2^1, 2^2$) и ($5^0, 5^1, 5^2$).
$1, 2, 4$ (степени 2)
$5 \times 1=5, 5 \times 2=10, 5 \times 4=20$
$25 \times 1=25, 25 \times 2=50, 25 \times 4=100$
Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

к) 104
Для нахождения всех делителей числа 104 разложим его на простые множители: $104 = 2 \times 52 = 2 \times 2 \times 26 = 2 \times 2 \times 2 \times 13 = 2^3 \times 13^1$.
Делители являются комбинациями множителей $2^0, 2^1, 2^2, 2^3$ и $13^0, 13^1$.
Делители без множителя 13: $1, 2, 4, 8$.
Делители с множителем 13: $13 \times 1=13, 13 \times 2=26, 13 \times 4=52, 13 \times 8=104$.
Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104.

л) 121
Найдем все делители числа 121. Заметим, что 121 является квадратом числа 11: $121 = 11^2$.
Так как 11 — простое число, то делителями числа 121 будут степени числа 11 от 0 до 2.
$11^0 = 1$
$11^1 = 11$
$11^2 = 121$
Ответ: 1, 11, 121.

м) 256
Найдем все делители числа 256. Число 256 является степенью числа 2: $256 = 2^8$.
Его делителями будут все степени числа 2 от $2^0$ до $2^8$.
$2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256$.
Запишем все делители по порядку.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.

3.55. Запишите пять натуральных чисел, имеющих делителями числа:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5;

д) 9;

е) 10;

ж) 2 и 3;

з) 3 и 4;

и) 2 и 5;

к) 4 и 9.

а) 2

Чтобы натуральное число имело делителем число 2, оно должно быть кратным 2, то есть быть четным. Чтобы найти пять таких чисел, мы можем последовательно умножить 2 на натуральные числа 1, 2, 3, 4 и 5.
$2 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 2 = 4$
$2 \cdot 3 = 6$
$2 \cdot 4 = 8$
$2 \cdot 5 = 10$
Ответ: 2, 4, 6, 8, 10.

б) 3

Чтобы натуральное число имело делителем число 3, оно должно быть кратным 3. Найдем пять таких чисел, умножив 3 на первые пять натуральных чисел.
$3 \cdot 1 = 3$
$3 \cdot 2 = 6$
$3 \cdot 3 = 9$
$3 \cdot 4 = 12$
$3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

в) 4

Чтобы натуральное число имело делителем число 4, оно должно быть кратным 4. Найдем пять таких чисел, умножив 4 на первые пять натуральных чисел.
$4 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 2 = 8$
$4 \cdot 3 = 12$
$4 \cdot 4 = 16$
$4 \cdot 5 = 20$
Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

г) 5

Чтобы натуральное число имело делителем число 5, оно должно быть кратным 5. Найдем пять таких чисел, умножив 5 на первые пять натуральных чисел.
$5 \cdot 1 = 5$
$5 \cdot 2 = 10$
$5 \cdot 3 = 15$
$5 \cdot 4 = 20$
$5 \cdot 5 = 25$
Ответ: 5, 10, 15, 20, 25.

д) 9

Чтобы натуральное число имело делителем число 9, оно должно быть кратным 9. Найдем пять таких чисел, умножив 9 на первые пять натуральных чисел.
$9 \cdot 1 = 9$
$9 \cdot 2 = 18$
$9 \cdot 3 = 27$
$9 \cdot 4 = 36$
$9 \cdot 5 = 45$
Ответ: 9, 18, 27, 36, 45.

е) 10

Чтобы натуральное число имело делителем число 10, оно должно быть кратным 10. Найдем пять таких чисел, умножив 10 на первые пять натуральных чисел.
$10 \cdot 1 = 10$
$10 \cdot 2 = 20$
$10 \cdot 3 = 30$
$10 \cdot 4 = 40$
$10 \cdot 5 = 50$
Ответ: 10, 20, 30, 40, 50.

ж) 2 и 3

Чтобы натуральное число имело делителями числа 2 и 3, оно должно делиться и на 2, и на 3. Это означает, что число должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Так как 2 и 3 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению.
НОК$(2, 3) = 2 \cdot 3 = 6$.
Теперь найдем пять чисел, кратных 6.
$6 \cdot 1 = 6$
$6 \cdot 2 = 12$
$6 \cdot 3 = 18$
$6 \cdot 4 = 24$
$6 \cdot 5 = 30$
Ответ: 6, 12, 18, 24, 30.

з) 3 и 4

Число должно быть кратно 3 и 4 одновременно. Найдем наименьшее общее кратное этих чисел. Так как 3 и 4 — взаимно простые числа (не имеют общих делителей кроме 1), их НОК равно их произведению.
НОК$(3, 4) = 3 \cdot 4 = 12$.
Теперь найдем пять чисел, кратных 12.
$12 \cdot 1 = 12$
$12 \cdot 2 = 24$
$12 \cdot 3 = 36$
$12 \cdot 4 = 48$
$12 \cdot 5 = 60$
Ответ: 12, 24, 36, 48, 60.

и) 2 и 5

Число должно быть кратно 2 и 5 одновременно. Найдем НОК(2, 5). Так как 2 и 5 — простые числа, они взаимно простые.
НОК$(2, 5) = 2 \cdot 5 = 10$.
Теперь найдем пять чисел, кратных 10.
$10 \cdot 1 = 10$
$10 \cdot 2 = 20$
$10 \cdot 3 = 30$
$10 \cdot 4 = 40$
$10 \cdot 5 = 50$
Ответ: 10, 20, 30, 40, 50.

к) 4 и 9

Число должно быть кратно 4 и 9 одновременно. Найдем НОК(4, 9). Разложим числа на простые множители: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$. Общих простых множителей нет, значит, числа взаимно простые.
НОК$(4, 9) = 4 \cdot 9 = 36$.
Теперь найдем пять чисел, кратных 36.
$36 \cdot 1 = 36$
$36 \cdot 2 = 72$
$36 \cdot 3 = 108$
$36 \cdot 4 = 144$
$36 \cdot 5 = 180$
Ответ: 36, 72, 108, 144, 180.

3.56. Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме:

а) $2$;

б) $3$;

в) $5$;

г) $2$ и $3$;

д) $2$ и $5$.

Чтобы найти натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме указанных, нужно составлять числа из этих простых делителей, возводя их в различные натуральные степени и перемножая их.

а) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 2. Такие числа являются степенями двойки. Общая формула для таких чисел: $N = 2^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $2^1 = 2$
2. При $n=2$: $2^2 = 4$
3. При $n=3$: $2^3 = 8$
4. При $n=4$: $2^4 = 16$
5. При $n=5$: $2^5 = 32$
Все эти числа (2, 4, 8, 16, 32) в качестве простого делителя имеют только число 2.
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32.

б) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 3. Такие числа являются степенями тройки. Общая формула для таких чисел: $N = 3^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $3^1 = 3$
2. При $n=2$: $3^2 = 9$
3. При $n=3$: $3^3 = 27$
4. При $n=4$: $3^4 = 81$
5. При $n=5$: $3^5 = 243$
Все эти числа (3, 9, 27, 81, 243) в качестве простого делителя имеют только число 3.
Ответ: 3, 9, 27, 81, 243.

в) Требуется найти пять натуральных чисел, которые имеют только один простой делитель — число 5. Такие числа являются степенями пятерки. Общая формула для таких чисел: $N = 5^n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).
Возьмем пять различных значений для $n$:
1. При $n=1$: $5^1 = 5$
2. При $n=2$: $5^2 = 25$
3. При $n=3$: $5^3 = 125$
4. При $n=4$: $5^4 = 625$
5. При $n=5$: $5^5 = 3125$
Все эти числа (5, 25, 125, 625, 3125) в качестве простого делителя имеют только число 5.
Ответ: 5, 25, 125, 625, 3125.

г) Требуется найти пять натуральных чисел, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 3. Это означает, что в разложении этих чисел на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 3. Общая формула для таких чисел: $N = 2^a \cdot 3^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, и их сумма $a+b \ge 1$.
Приведем пять примеров, выбирая разные значения для $a$ и $b$:
1. При $a=1, b=1$: $2^1 \cdot 3^1 = 6$
2. При $a=2, b=1$: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$
3. При $a=1, b=2$: $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$
4. При $a=3, b=1$: $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$
5. При $a=2, b=2$: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Простые делители этих чисел принадлежат множеству $\{2, 3\}$.
Ответ: 6, 12, 18, 24, 36.

д) Требуется найти пять натуральных чисел, которые не имеют других простых делителей, кроме 2 и 5. Это означает, что в разложении этих чисел на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 5. Общая формула для таких чисел: $N = 2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, и их сумма $a+b \ge 1$.
Приведем пять примеров, выбирая разные значения для $a$ и $b$:
1. При $a=1, b=1$: $2^1 \cdot 5^1 = 10$
2. При $a=2, b=1$: $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$
3. При $a=3, b=1$: $2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$
4. При $a=1, b=2$: $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$
5. При $a=2, b=2$: $2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$
Простые делители этих чисел принадлежат множеству $\{2, 5\}$.
Ответ: 10, 20, 40, 50, 100.

3.57. Найдите все делители числа a:

а) $a=2 \cdot 3 \cdot 5$; б) $a=3 \cdot 5 \cdot 7$; в) $a=3 \cdot 3 \cdot 11$; г) $a=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.

Решение. а)

Число a имеет простые делители: 2, 3 и 5.

Другие делители найдём, составляя различные произведения из этих простых делителей: $2 \cdot 3 = 6$; $2 \cdot 5 = 10$; $3 \cdot 5 = 15$; $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Кроме того, число a делится на 1.

Ответ. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

а) Дано число $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Простыми делителями этого числа являются 2, 3 и 5. Все остальные делители можно найти, составляя различные произведения из этих простых множителей. Кроме того, 1 является делителем любого числа.
Делители, составленные из двух простых множителей: $2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 5 = 10$, $3 \cdot 5 = 15$.
Делитель, составленный из трех простых множителей, равен самому числу: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Таким образом, все делители числа 30 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

б) Дано число $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Простые делители: 3, 5, 7. Другие делители найдем, составляя произведения из этих простых множителей. Не забываем про 1 и само число.
Произведения из двух множителей: $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 7 = 21$, $5 \cdot 7 = 35$.
Произведение из трех множителей: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Все делители числа 105 в порядке возрастания: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

в) Дано число $a = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 99$, или $a = 3^2 \cdot 11$. Его простые делители — 3 и 11. Все делители можно найти как произведения степеней его простых множителей. Делители будут иметь вид $3^k \cdot 11^m$, где $k \in \{0, 1, 2\}$ и $m \in \{0, 1\}$.
Перечислим их: $3^0 \cdot 11^0 = 1$, $3^1 \cdot 11^0 = 3$, $3^2 \cdot 11^0 = 9$, $3^0 \cdot 11^1 = 11$, $3^1 \cdot 11^1 = 33$, $3^2 \cdot 11^1 = 99$.
Все делители числа 99 в порядке возрастания: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

Ответ: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

г) Дано число $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 525$, или $a = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$. Его простые делители — 3, 5 и 7. Делители будут иметь вид $3^k \cdot 5^m \cdot 7^n$, где $k \in \{0, 1\}$, $m \in \{0, 1, 2\}$ и $n \in \{0, 1\}$.
Найдем делители, не содержащие множитель 7 ($n=0$): $1, 3, 5, 3 \cdot 5 = 15, 5^2 = 25, 3 \cdot 5^2 = 75$.
Теперь найдем делители, содержащие множитель 7 ($n=1$), умножив предыдущие на 7: $1 \cdot 7 = 7, 3 \cdot 7 = 21, 5 \cdot 7 = 35, 15 \cdot 7 = 105, 25 \cdot 7 = 175, 75 \cdot 7 = 525$.
Все делители числа 525 в порядке возрастания: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.

3.58. Разложите на простые множители число:

a) $16$;

б) $18$;

в) $26$;

г) $35$;

д) $48$;

е) $70$;

ж) $144$;

з) $210$;

и) $800$;

к) $216$;

л) $343$;

м) $1024$.

а)

Чтобы разложить число 16 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьший простой делитель. 16 — четное число, поэтому начинаем делить на 2.

$16 \div 2 = 8$

$8 \div 2 = 4$

$4 \div 2 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Процесс деления закончен. Мы получили четыре множителя, равных 2. Таким образом, разложение числа 16 на простые множители имеет вид:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Ответ: $16 = 2^4$

б)

Разложим число 18 на простые множители. 18 — четное число, делим на 2.

$18 \div 2 = 9$

Число 9 на 2 не делится. Следующий простой делитель — 3. Делим 9 на 3.

$9 \div 3 = 3$

3 — простое число, делим его на само себя.

$3 \div 3 = 1$

Простые множители числа 18: 2, 3, 3. Запишем разложение:

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

Ответ: $18 = 2 \cdot 3^2$

в)

Разложим число 26 на простые множители. 26 — четное, делим на 2.

$26 \div 2 = 13$

Число 13 является простым, так как оно делится только на 1 и на само себя.

Таким образом, разложение числа 26 на простые множители:

$26 = 2 \cdot 13$

Ответ: $26 = 2 \cdot 13$

г)

Разложим число 35 на простые множители. 35 не делится на 2 (нечетное) и на 3 (сумма цифр $3+5=8$ не делится на 3). Следующий простой делитель — 5. 35 оканчивается на 5, значит, делится на 5.

$35 \div 5 = 7$

Число 7 является простым.

Следовательно, разложение числа 35:

$35 = 5 \cdot 7$

Ответ: $35 = 5 \cdot 7$

д)

Разложим число 48 на простые множители. Начинаем делить на 2.

$48 \div 2 = 24$

$24 \div 2 = 12$

$12 \div 2 = 6$

$6 \div 2 = 3$

3 — простое число.

Простые множители: 2, 2, 2, 2, 3. Запишем разложение:

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

Ответ: $48 = 2^4 \cdot 3$

е)

Разложим число 70 на простые множители. 70 — четное, делим на 2.

$70 \div 2 = 35$

35 оканчивается на 5, делим на 5.

$35 \div 5 = 7$

7 — простое число.

Разложение числа 70:

$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Ответ: $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

ж)

Разложим число 144 на простые множители. Начинаем делить на 2.

$144 \div 2 = 72$

$72 \div 2 = 36$

$36 \div 2 = 18$

$18 \div 2 = 9$

9 делится на 3.

$9 \div 3 = 3$

3 — простое число.

Разложение числа 144:

$144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2$

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$

з)

Разложим число 210 на простые множители. Начинаем с наименьших простых делителей.

$210 \div 2 = 105$

Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, значит, и само число делится на 3.

$105 \div 3 = 35$

35 делится на 5.

$35 \div 5 = 7$

7 — простое число.

Разложение числа 210:

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Ответ: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

и)

Разложим число 800 на простые множители. Делим последовательно на 2.

$800 \div 2 = 400$

$400 \div 2 = 200$

$200 \div 2 = 100$

$100 \div 2 = 50$

$50 \div 2 = 25$

25 делится на 5.

$25 \div 5 = 5$

5 — простое число.

Разложение числа 800:

$800 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^2$

Ответ: $800 = 2^5 \cdot 5^2$

к)

Разложим число 216 на простые множители. Делим на 2.

$216 \div 2 = 108$

$108 \div 2 = 54$

$54 \div 2 = 27$

27 делится на 3.

$27 \div 3 = 9$

$9 \div 3 = 3$

3 — простое число.

Разложение числа 216:

$216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$

Ответ: $216 = 2^3 \cdot 3^3$

л)

Разложим число 343 на простые множители. Проверяем делимость на простые числа. На 2, 3, 5 не делится. Проверим на 7.

$343 \div 7 = 49$

49 также делится на 7.

$49 \div 7 = 7$

7 — простое число.

Разложение числа 343:

$343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$

Ответ: $343 = 7^3$

м)

Разложим число 1024 на простые множители. Это четное число, будем последовательно делить на 2.

$1024 \div 2 = 512$

$512 \div 2 = 256$

$256 \div 2 = 128$

$128 \div 2 = 64$

$64 \div 2 = 32$

$32 \div 2 = 16$

$16 \div 2 = 8$

$8 \div 2 = 4$

$4 \div 2 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Разложение состоит из десяти множителей, равных 2.

$1024 = 2^{10}$

Ответ: $1024 = 2^{10}$

3.59. Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1:

а) $20 \cdot 24$;

б) $12 \cdot 25$;

в) $164 \cdot 10$;

г) $8 \cdot 125$;

д) $125 \cdot 64$;

е) $112 \cdot 147$;

ж) $1001 \cdot 37$;

з) $47 \cdot 201$.

Чтобы представить данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1, необходимо разложить каждый из исходных множителей на простые множители и записать их общее произведение.

а) Разложим на простые множители числа 20 и 24:

$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Следовательно, произведение $20 \cdot 24$ равно:

$(2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

б) Разложим на простые множители числа 12 и 25:

$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

$25 = 5 \cdot 5$

Следовательно, произведение $12 \cdot 25$ равно:

$(2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

в) Разложим на простые множители числа 164 и 10:

$164 = 2 \cdot 82 = 2 \cdot 2 \cdot 41$

$10 = 2 \cdot 5$

Следовательно, произведение $164 \cdot 10$ равно:

$(2 \cdot 2 \cdot 41) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 41$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 41$

г) Разложим на простые множители числа 8 и 125:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$

$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

Следовательно, произведение $8 \cdot 125$ равно:

$(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

д) Разложим на простые множители числа 125 и 64:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Следовательно, произведение $125 \cdot 64$ равно:

$(5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

е) Разложим на простые множители числа 112 и 147:

$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$

$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7 \cdot 7$

Следовательно, произведение $112 \cdot 147$ равно:

$(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 7) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

ж) Разложим на простые множители числа 1001 и 37:

$1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13$

Число 37 является простым.

Следовательно, произведение $1001 \cdot 37$ равно:

$(7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot 37 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

Ответ: $7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

з) Разложим на простые множители числа 47 и 201:

Число 47 является простым.

$201 = 3 \cdot 67$, где числа 3 и 67 также являются простыми.

Следовательно, произведение $47 \cdot 201$ равно:

$47 \cdot (3 \cdot 67) = 3 \cdot 47 \cdot 67$

Ответ: $3 \cdot 47 \cdot 67$

3.60. Запишите в порядке возрастания все делители числа:

а) $12$;

б) $15$;

в) $18$;

г) $24$.

а) Делители числа — это целые числа, на которые данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 12, будем последовательно проверять натуральные числа, на которые 12 может делиться.

$12 \div 1 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$12 \div 3 = 4$
$12 \div 4 = 3$
$12 \div 6 = 2$
$12 \div 12 = 1$

Таким образом, делителями числа 12 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Они уже записаны в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

б) Найдем все делители числа 15. Это числа, на которые 15 делится нацело.

$15 \div 1 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$15 \div 5 = 3$
$15 \div 15 = 1$

Делителями числа 15 являются: 1, 3, 5, 15. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 3, 5, 15.

в) Найдем все делители числа 18.

$18 \div 1 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$18 \div 3 = 6$
$18 \div 6 = 3$
$18 \div 9 = 2$
$18 \div 18 = 1$

Делителями числа 18 являются: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Расположим их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

г) Найдем все делители числа 24.

$24 \div 1 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$24 \div 3 = 8$
$24 \div 4 = 6$
$24 \div 6 = 4$
$24 \div 8 = 3$
$24 \div 12 = 2$
$24 \div 24 = 1$

Делителями числа 24 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

3.61. Выполняя предыдущее задание, можно заметить, что делители числа 18 обладают интересным свойством:

1, 2, 3, 6, 9, 18

$1 \cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6 = 18.$

Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18. Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 18: 1, 2, 3, 6. После того как найдена «середина» в ряду делителей, остальные делители найдём делением: $18 : 2 = 9$, $18 : 1 = 18$. Используя этот приём, найдите все делители числа: а) 32; б) 48; в) 56; г) 36; д) 98.

Для нахождения всех делителей числа будем использовать приём, описанный в задании. Мы будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1, и если число является делителем, то сразу будем находить парный ему делитель. Перебор можно прекратить, когда проверяемое число в квадрате станет больше или равно исходному числу.

а) 32

Найдём все делители числа 32. Квадратный корень из 32 находится между 5 и 6 ($5^2=25$, $6^2=36$), поэтому будем проверять делимость на числа от 1 до 5.

• $32 : 1 = 32$. Получаем пару делителей: 1 и 32.
• $32 : 2 = 16$. Получаем пару делителей: 2 и 16.
• 32 не делится нацело на 3.
• $32 : 4 = 8$. Получаем пару делителей: 4 и 8.
• 32 не делится нацело на 5.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

б) 48

Найдём все делители числа 48. Квадратный корень из 48 находится между 6 и 7 ($6^2=36$, $7^2=49$), поэтому будем проверять делимость на числа от 1 до 6.

• $48 : 1 = 48$. Делители: 1 и 48.
• $48 : 2 = 24$. Делители: 2 и 24.
• $48 : 3 = 16$. Делители: 3 и 16.
• $48 : 4 = 12$. Делители: 4 и 12.
• 48 не делится нацело на 5.
• $48 : 6 = 8$. Делители: 6 и 8.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

в) 56

Найдём все делители числа 56. Квадратный корень из 56 находится между 7 и 8 ($7^2=49$, $8^2=64$), поэтому будем проверять делимость на числа от 1 до 7.

• $56 : 1 = 56$. Делители: 1 и 56.
• $56 : 2 = 28$. Делители: 2 и 28.
• 56 не делится нацело на 3.
• $56 : 4 = 14$. Делители: 4 и 14.
• 56 не делится нацело на 5.
• 56 не делится нацело на 6.
• $56 : 7 = 8$. Делители: 7 и 8.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

г) 36

Найдём все делители числа 36. Квадратный корень из 36 равен 6 ($\sqrt{36}=6$), поэтому будем проверять делимость на числа от 1 до 6.

• $36 : 1 = 36$. Делители: 1 и 36.
• $36 : 2 = 18$. Делители: 2 и 18.
• $36 : 3 = 12$. Делители: 3 и 12.
• $36 : 4 = 9$. Делители: 4 и 9.
• 36 не делится нацело на 5.
• $36 : 6 = 6$. Так как частное равно делителю, получаем один делитель: 6.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

д) 98

Найдём все делители числа 98. Квадратный корень из 98 находится между 9 и 10 ($9^2=81$, $10^2=100$), поэтому будем проверять делимость на числа от 1 до 9.

• $98 : 1 = 98$. Делители: 1 и 98.
• $98 : 2 = 49$. Делители: 2 и 49.
• 98 не делится нацело на 3.
• 98 не делится нацело на 4.
• 98 не делится нацело на 5.
• 98 не делится нацело на 6.
• $98 : 7 = 14$. Делители: 7 и 14.
• 98 не делится нацело на 8.
• 98 не делится нацело на 9.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 7, 14, 49, 98.

Ответ: 1, 2, 7, 14, 49, 98.