Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.32. Докажите признак делимости на 4: если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0, 4 и 8.)

Для доказательства представим любое натуральное число $N$, имеющее как минимум две цифры, в виде суммы:

$N = 100 \cdot A + B$

Здесь $B$ — это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$, а $A$ — это число, образованное всеми остальными (стоящими левее) цифрами.

Например, если $N = 38716$, то $B = 16$ и $A = 387$. Тогда $38716 = 100 \cdot 387 + 16$.

Теперь проанализируем делимость этого выражения на 4. Оно состоит из двух слагаемых: $100 \cdot A$ и $B$.

1. Первое слагаемое, $100 \cdot A$, всегда делится на 4, так как множитель 100 делится на 4 без остатка ($100 = 4 \cdot 25$). Следовательно, $100 \cdot A = 4 \cdot (25 \cdot A)$, и это слагаемое всегда кратно 4 при любом целом $A$.

2. Второе слагаемое — это $B$. Согласно условию доказываемого признака, число $B$ (образованное двумя последними цифрами) делится на 4.

Мы имеем сумму двух слагаемых, $100 \cdot A$ и $B$. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся их сумма делится на это число. В нашем случае оба слагаемых делятся на 4, значит, и их сумма $N$ делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что если число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4, то и само исходное число делится на 4.

Ответ: Доказательство завершено. Мы показали, что любое число $N$ можно представить как $100 \cdot A + B$. Так как слагаемое $100 \cdot A$ всегда делится на 4, делимость всей суммы $N$ на 4 зависит только от делимости слагаемого $B$. Следовательно, если $B$ (число, образованное последними двумя цифрами) делится на 4, то и всё число $N$ делится на 4.

3.33. Какие из чисел

7928; 3553; 1996; 1795; 7 568 936; 1000; 5700

делятся на 4?

Чтобы определить, делится ли число на 4, необходимо проверить, делится ли на 4 число, образованное двумя последними цифрами данного числа. Если число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4 (включая случай, когда это 00), то и все число делится на 4.

Рассмотрим каждое число по отдельности:

• 7928: Последние две цифры образуют число 28. Так как $28 \div 4 = 7$, число 28 делится на 4. Следовательно, 7928 делится на 4.

• 3553: Последние две цифры образуют число 53. Число 53 не делится на 4 без остатка ($53 = 4 \times 13 + 1$). Следовательно, 3553 не делится на 4.

• 1996: Последние две цифры образуют число 96. Так как $96 \div 4 = 24$, число 96 делится на 4. Следовательно, 1996 делится на 4.

• 1795: Последние две цифры образуют число 95. Число 95 не делится на 4 без остатка ($95 = 4 \times 23 + 3$). Следовательно, 1795 не делится на 4.

• 7 568 936: Последние две цифры образуют число 36. Так как $36 \div 4 = 9$, число 36 делится на 4. Следовательно, 7 568 936 делится на 4.

• 1000: Последние две цифры — 00. Число 00 (ноль) делится на 4, так как $0 \div 4 = 0$. Следовательно, 1000 делится на 4.

• 5700: Последние две цифры — 00. Число 00 (ноль) делится на 4, так как $0 \div 4 = 0$. Следовательно, 5700 делится на 4.

Ответ: 7928; 1996; 7 568 936; 1000; 5700.

3.34. Используя признак делимости на 4, определите четыре первых високосных года XXI века.

Чтобы определить високосные годы, воспользуемся признаком делимости на 4. Число делится на 4 без остатка, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

XXI век начался 1 января 2001 года. Начнем последовательную проверку годов, начиная с 2001:

• 2001 год: Две последние цифры образуют число 01 (или 1). 1 на 4 не делится.

• 2002 год: Две последние цифры образуют число 02 (или 2). 2 на 4 не делится.

• 2003 год: Две последние цифры образуют число 03 (или 3). 3 на 4 не делится.

• 2004 год: Две последние цифры образуют число 04 (или 4). Так как 4 делится на 4 ($4 \div 4 = 1$), то 2004 год является високосным. Это первый искомый год.

Поскольку по данному правилу високосные годы идут каждые 4 года, остальные три года можно найти, последовательно прибавляя 4:

• Второй високосный год: $2004 + 4 = 2008$ год.

• Третий високосный год: $2008 + 4 = 2012$ год.

• Четвертый високосный год: $2012 + 4 = 2016$ год.

Таким образом, четыре первых високосных года XXI века — это 2004, 2008, 2012 и 2016.

Ответ: 2004, 2008, 2012, 2016.

3.35. Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма:

a) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15;$

б) $5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65;$

в) $9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169.$

Для определения четности суммы без ее вычисления, необходимо проанализировать четность каждого слагаемого и их общее количество. Воспользуемся следующими правилами:

• Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом (например, $3+5=8$).
• Сумма нечетного и четного чисел всегда является нечетным числом (например, $3+4=7$).
• Сумма двух четных чисел всегда является четным числом (например, $2+4=6$).

Из этого следует, что четность суммы нескольких нечетных чисел зависит от их количества:

• Если количество нечетных слагаемых четное, то их можно разбить на пары. Сумма в каждой паре будет четной, а сумма нескольких четных чисел всегда четная. Таким образом, итоговая сумма будет четной.
• Если количество нечетных слагаемых нечетное, то после разбиения на пары останется одно нечетное число. Сумма пар даст четное число, и при добавлении к нему оставшегося нечетного слагаемого итоговая сумма будет нечетной.

а) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$

В данной сумме все слагаемые являются нечетными числами. Подсчитаем их количество: 8 слагаемых. Поскольку 8 — это четное число, сумма четного количества нечетных чисел является четным числом.

Ответ: четное.

б) $5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65$

Все слагаемые в этой сумме оканчиваются на цифру 5, а значит, являются нечетными. Подсчитаем их количество: 7 слагаемых. Поскольку 7 — это нечетное число, сумма нечетного количества нечетных чисел является нечетным числом.

Ответ: нечетное.

в) $9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169$

Все слагаемые в этой сумме оканчиваются на цифру 9, а значит, являются нечетными. Подсчитаем их количество: 9 слагаемых. Поскольку 9 — это нечетное число, сумма нечетного количества нечетных чисел является нечетным числом.

Ответ: нечетное.

3.36. Докажите, что нельзя подобрать:

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

Для доказательства воспользуемся свойствами чётности чисел. Известно, что:
нечётное + нечётное = чётное
чётное + нечётное = нечётное
Следовательно, сумма трёх нечётных чисел всегда будет нечётным числом: (нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.

Проведём алгебраическое доказательство. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ – целое число. Пусть у нас есть три нечётных числа: $n_1 = 2k_1 + 1$, $n_2 = 2k_2 + 1$ и $n_3 = 2k_3 + 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + (2k_3 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + 3 = 2(k_1 + k_2 + k_3) + 3$
Выражение $2(k_1 + k_2 + k_3)$ всегда чётно, а число 3 — нечётно. Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.

Таким образом, сумма любых трёх нечётных чисел всегда нечётна. Число 12 является чётным. Поскольку нечётное число не может быть равно чётному, подобрать три нечётных числа с суммой 12 невозможно.

Ответ: Нельзя, так как сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом, в то время как 12 — число чётное.

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Сумма нечётного количества нечётных слагаемых всегда является нечётным числом. В данном случае у нас пять слагаемых, а 5 — нечётное число. Следовательно, их сумма должна быть нечётной.

Алгебраическое доказательство для пяти нечётных чисел:
$S = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + (2k_3 + 1) + (2k_4 + 1) + (2k_5 + 1)$
$S = 2(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5) + 5$
Выражение $2(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)$ является чётным числом. Сумма этого чётного числа и нечётного числа 5 всегда будет нечётным числом.

Таким образом, сумма любых пяти нечётных чисел всегда нечётна. Число 100 является чётным. Следовательно, подобрать пять нечётных чисел, сумма которых равна 100, невозможно.

Ответ: Нельзя, так как сумма пяти нечётных чисел всегда является нечётным числом, а 100 — число чётное.

3.37. Докажите, что:

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная;

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

а) Для доказательства воспользуемся алгебраическим представлением чётных и нечётных чисел. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.
Пусть нам нужно найти сумму чётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $2n$, где $n$ — натуральное число. Каждое из этих слагаемых, $a_i$, является нечётным, то есть $a_i = 2k_i + 1$ для некоторого целого $k_i$.
Сумма $S$ будет выглядеть так:
$S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \ldots + (2k_{2n} + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = (2k_1 + 2k_2 + \ldots + 2k_{2n}) + \underbrace{(1 + 1 + \ldots + 1)}_{2n \text{ слагаемых}}$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n}) + 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n} + n)$
Поскольку $k_1, k_2, \ldots, k_{2n}$ и $n$ являются целыми числами, их сумма в скобках также является целым числом. Обозначим эту сумму как $K$. Тогда $S = 2K$. Число вида $2K$, где $K$ — целое, по определению является чётным. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: сумма чётного числа нечётных слагаемых является чётной.

б) Аналогично пункту а), используем представление нечётного числа в виде $2k + 1$.
Пусть нам нужно найти сумму нечётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $2n + 1$, где $n$ — неотрицательное целое число. Каждое слагаемое $a_i = 2k_i + 1$.
Сумма $S$ будет равна:
$S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n+1} = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \ldots + (2k_{2n+1} + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = (2k_1 + 2k_2 + \ldots + 2k_{2n+1}) + \underbrace{(1 + 1 + \ldots + 1)}_{2n+1 \text{ слагаемых}}$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1}) + (2n + 1)$
Раскроем скобки и снова сгруппируем, чтобы выделить форму нечётного числа:
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1}) + 2n + 1$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1} + n) + 1$
Сумма в скобках, $(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1} + n)$, является целым числом. Обозначим эту сумму как $M$. Тогда $S = 2M + 1$. Число вида $2M + 1$, где $M$ — целое, по определению является нечётным. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: сумма нечётного числа нечётных слагаемых является нечётной.