Номер 3.36, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.36. Докажите, что нельзя подобрать:

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

а) три нечётных числа, сумма которых равна 12;

Для доказательства воспользуемся свойствами чётности чисел. Известно, что:
нечётное + нечётное = чётное
чётное + нечётное = нечётное
Следовательно, сумма трёх нечётных чисел всегда будет нечётным числом: (нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.

Проведём алгебраическое доказательство. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ – целое число. Пусть у нас есть три нечётных числа: $n_1 = 2k_1 + 1$, $n_2 = 2k_2 + 1$ и $n_3 = 2k_3 + 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + (2k_3 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2k_3 + 3 = 2(k_1 + k_2 + k_3) + 3$
Выражение $2(k_1 + k_2 + k_3)$ всегда чётно, а число 3 — нечётно. Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.

Таким образом, сумма любых трёх нечётных чисел всегда нечётна. Число 12 является чётным. Поскольку нечётное число не может быть равно чётному, подобрать три нечётных числа с суммой 12 невозможно.

Ответ: Нельзя, так как сумма трёх нечётных чисел всегда является нечётным числом, в то время как 12 — число чётное.

б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Сумма нечётного количества нечётных слагаемых всегда является нечётным числом. В данном случае у нас пять слагаемых, а 5 — нечётное число. Следовательно, их сумма должна быть нечётной.

Алгебраическое доказательство для пяти нечётных чисел:
$S = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + (2k_3 + 1) + (2k_4 + 1) + (2k_5 + 1)$
$S = 2(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5) + 5$
Выражение $2(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)$ является чётным числом. Сумма этого чётного числа и нечётного числа 5 всегда будет нечётным числом.

Таким образом, сумма любых пяти нечётных чисел всегда нечётна. Число 100 является чётным. Следовательно, подобрать пять нечётных чисел, сумма которых равна 100, невозможно.

Ответ: Нельзя, так как сумма пяти нечётных чисел всегда является нечётным числом, а 100 — число чётное.