Номер 3.37, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.37. Докажите, что:

а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная;

б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная.

а) Для доказательства воспользуемся алгебраическим представлением чётных и нечётных чисел. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.
Пусть нам нужно найти сумму чётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $2n$, где $n$ — натуральное число. Каждое из этих слагаемых, $a_i$, является нечётным, то есть $a_i = 2k_i + 1$ для некоторого целого $k_i$.
Сумма $S$ будет выглядеть так:
$S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \ldots + (2k_{2n} + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = (2k_1 + 2k_2 + \ldots + 2k_{2n}) + \underbrace{(1 + 1 + \ldots + 1)}_{2n \text{ слагаемых}}$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n}) + 2n$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n} + n)$
Поскольку $k_1, k_2, \ldots, k_{2n}$ и $n$ являются целыми числами, их сумма в скобках также является целым числом. Обозначим эту сумму как $K$. Тогда $S = 2K$. Число вида $2K$, где $K$ — целое, по определению является чётным. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: сумма чётного числа нечётных слагаемых является чётной.

б) Аналогично пункту а), используем представление нечётного числа в виде $2k + 1$.
Пусть нам нужно найти сумму нечётного числа нечётных слагаемых. Обозначим количество слагаемых как $2n + 1$, где $n$ — неотрицательное целое число. Каждое слагаемое $a_i = 2k_i + 1$.
Сумма $S$ будет равна:
$S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n+1} = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \ldots + (2k_{2n+1} + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = (2k_1 + 2k_2 + \ldots + 2k_{2n+1}) + \underbrace{(1 + 1 + \ldots + 1)}_{2n+1 \text{ слагаемых}}$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1}) + (2n + 1)$
Раскроем скобки и снова сгруппируем, чтобы выделить форму нечётного числа:
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1}) + 2n + 1$
$S = 2(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1} + n) + 1$
Сумма в скобках, $(k_1 + k_2 + \ldots + k_{2n+1} + n)$, является целым числом. Обозначим эту сумму как $M$. Тогда $S = 2M + 1$. Число вида $2M + 1$, где $M$ — целое, по определению является нечётным. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: сумма нечётного числа нечётных слагаемых является нечётной.