Страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.23. Докажите, что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением чётного числа. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $a$ можно представить в виде $a = 2k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Пусть $a$ — это произвольное чётное число, а $n$ — произвольное натуральное число.

Поскольку $a$ является чётным, мы можем записать его в форме $a = 2k$, где $k$ — натуральное число.

Теперь рассмотрим произведение этих двух чисел: $a \times n$.

Подставим вместо $a$ его представление $2k$ в это произведение:
$a \times n = (2k) \times n$

Используя сочетательное свойство умножения, мы можем перегруппировать множители:
$(2k) \times n = 2 \times (k \times n)$

Так как $k$ и $n$ являются натуральными числами, их произведение $(k \times n)$ также будет натуральным числом. Обозначим это произведение как $m$, то есть $m = k \times n$.

В результате мы получаем, что произведение $a$ и $n$ равно $2m$. По определению, любое число, которое можно представить в виде произведения числа 2 и некоторого натурального числа $m$, является чётным.

Таким образом, мы доказали, что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное.

Ответ: Утверждение доказано. Так как чётное число можно представить как $2k$ (где $k$ — натуральное число), его произведение с любым натуральным числом $n$ будет равно $(2k) \times n = 2 \times (k \times n)$. Поскольку результат этого произведения содержит множитель 2, он всегда будет чётным числом.

3.24. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом.

Для доказательства этого утверждения используем определение чётного числа. Чётное число — это любое целое число, которое делится на 2 без остатка. Алгебраически любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Возьмём два произвольных чётных числа, назовём их $a$ и $b$. Так как они оба являются чётными, их можно записать в следующем виде:

$a = 2k$

$b = 2m$

где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь найдём сумму этих двух чисел:

$a + b = 2k + 2m$

В правой части этого равенства можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(k + m)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Обозначим это новое целое число как $n$, то есть $n = k + m$.

Тогда наша сумма примет вид:

$a + b = 2n$

Полученное выражение $2n$ по определению является чётным числом, так как оно представляет собой произведение числа 2 на целое число $n$. Таким образом, мы доказали, что сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом.

Ответ: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.

3.25. Покажите, что нечётные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде $2 \cdot k + 1$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Чтобы показать, что нечётное число можно записать в виде $2 \cdot k + 1$, где $k$ — натуральное число, необходимо для каждого указанного числа найти такое $k$. Для этого нужно решить уравнение $N = 2k + 1$ относительно $k$ для каждого числа $N$.
Выразим $k$ из уравнения:
$2k = N - 1$
$k = \frac{N - 1}{2}$
Теперь применим эту формулу для каждого из чисел 7, 9, 5 и 13 и убедимся, что полученное значение $k$ является натуральным числом (т.е. целым и положительным).

Для числа 7:
Подставим $N=7$ в формулу:
$k = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Поскольку $k=3$ — натуральное число, то число 7 можно записать в требуемом виде. Проверка: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Ответ: $7 = 2 \cdot 3 + 1$.

Для числа 9:
Подставим $N=9$ в формулу:
$k = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Поскольку $k=4$ — натуральное число, то число 9 можно записать в требуемом виде. Проверка: $2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Ответ: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

Для числа 5:
Подставим $N=5$ в формулу:
$k = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Поскольку $k=2$ — натуральное число, то число 5 можно записать в требуемом виде. Проверка: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: $5 = 2 \cdot 2 + 1$.

Для числа 13:
Подставим $N=13$ в формулу:
$k = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Поскольку $k=6$ — натуральное число, то число 13 можно записать в требуемом виде. Проверка: $2 \cdot 6 + 1 = 12 + 1 = 13$.
Ответ: $13 = 2 \cdot 6 + 1$.

Таким образом, мы показали, что для каждого из нечётных чисел 7, 9, 5 и 13 существует такое натуральное число $k$, что эти числа можно записать в виде $2 \cdot k + 1$.

3.26. Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся алгебраическим определением нечётного и чётного чисел.

Любое нечётное число можно представить в виде формулы $2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Любое чётное число можно представить в виде формулы $2n$, где $n$ — любое целое число. Это означает, что чётное число делится на 2 без остатка.

Возьмём два произвольных нечётных числа. Обозначим первое число как $a$, а второе как $b$. Согласно определению, их можно записать так:

$a = 2k + 1$

$b = 2m + 1$

Здесь $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь найдём сумму этих двух чисел:

$a + b = (2k + 1) + (2m + 1)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые:

$a + b = 2k + 2m + 1 + 1 = 2k + 2m + 2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(k + m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m$ также является целым числом. Выражение в скобках $(k + m + 1)$ тоже является целым числом. Если мы обозначим это выражение новой переменной, например $n = k + m + 1$, то сумма примет вид $2n$.

Выражение вида $2n$ по определению является чётным числом, так как оно гарантированно делится на 2. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двух нечётных чисел, представленных в общем виде как $2k+1$ и $2m+1$ (где $k$ и $m$ — целые числа), равна $(2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)$. Поскольку выражение $(k+m+1)$ является целым числом, результат суммы всегда кратен двум, а значит, является чётным числом.

3.27. Определите, делится ли число 111 111 111 111 111:

а) на 3;

б) на 9.

Для определения делимости числа на 3 и 9 используется признак делимости, основанный на сумме цифр числа.

Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

Заданное число — 111 111 111 111. Это число состоит из 12 цифр, каждая из которых равна 1.

Найдем сумму цифр этого числа:

Сумма цифр = $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 \times 1 = 12$.

Теперь применим признаки делимости к полученной сумме.

а) на 3

Проверим, делится ли сумма цифр, равная 12, на 3.

$12 \div 3 = 4$

Так как сумма цифр 12 делится на 3, то и исходное число 111 111 111 111 делится на 3.

Ответ: да, делится.

б) на 9

Проверим, делится ли сумма цифр, равная 12, на 9.

$12 \div 9 = 1$ (и 3 в остатке)

Так как сумма цифр 12 не делится на 9 без остатка, то и исходное число 111 111 111 111 не делится на 9.

Ответ: нет, не делится.

3.28. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 9:

а) 4*;

б) 5*;

в) 85*;

г) 738*;

д) 6*7;

е) 7*2;

ж) 24*0;

з) 2090*?

Чтобы число делилось на 9 без остатка, сумма всех его цифр должна быть кратна 9.

а) 4*
Пусть неизвестная цифра будет $x$. Сумма цифр числа $4x$ равна $4 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $x$ — это цифра от 0 до 9, то сумма $4+x$ может быть от $4+0=4$ до $4+9=13$. В этом диапазоне единственное число, которое делится на 9, это 9.
$4 + x = 9$
$x = 9 - 4 = 5$
Проверка: число 45, сумма цифр $4+5=9$. $45 \div 9 = 5$.
Ответ: 5.

б) 5*
Сумма цифр числа $5x$ равна $5 + x$. Сумма должна быть кратна 9.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 5 \le 5+x \le 14$.
В этом диапазоне только 9 делится на 9.
$5 + x = 9$
$x = 9 - 5 = 4$
Проверка: число 54, сумма цифр $5+4=9$. $54 \div 9 = 6$.
Ответ: 4.

в) 85*
Сумма известных цифр: $8 + 5 = 13$. Сумма всех цифр числа $85x$ равна $13 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 13 \le 13+x \le 22$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$13 + x = 18$
$x = 18 - 13 = 5$
Проверка: число 855, сумма цифр $8+5+5=18$. $855 \div 9 = 95$.
Ответ: 5.

г) 738*
Сумма известных цифр: $7 + 3 + 8 = 18$. Сумма всех цифр числа $738x$ равна $18 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 18 \le 18+x \le 27$.
В этом диапазоне на 9 делятся два числа: 18 и 27.
1) $18 + x = 18 \Rightarrow x = 0$. Получается число 7380.
2) $18 + x = 27 \Rightarrow x = 9$. Получается число 7389.
Оба варианта подходят.
Ответ: 0 или 9.

д) 6*7
Сумма известных цифр: $6 + 7 = 13$. Сумма всех цифр числа $6x7$ равна $13 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 13 \le 13+x \le 22$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$13 + x = 18$
$x = 18 - 13 = 5$
Проверка: число 657, сумма цифр $6+5+7=18$. $657 \div 9 = 73$.
Ответ: 5.

е) 7*2
Сумма известных цифр: $7 + 2 = 9$. Сумма всех цифр числа $7x2$ равна $9 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 9 \le 9+x \le 18$.
В этом диапазоне на 9 делятся два числа: 9 и 18.
1) $9 + x = 9 \Rightarrow x = 0$. Получается число 702.
2) $9 + x = 18 \Rightarrow x = 9$. Получается число 792.
Оба варианта подходят.
Ответ: 0 или 9.

ж) 24*0
Сумма известных цифр: $2 + 4 + 0 = 6$. Сумма всех цифр числа $24x0$ равна $6 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 6 \le 6+x \le 15$.
В этом диапазоне только 9 делится на 9.
$6 + x = 9$
$x = 9 - 6 = 3$
Проверка: число 2430, сумма цифр $2+4+3+0=9$. $2430 \div 9 = 270$.
Ответ: 3.

з) 2090*
Сумма известных цифр: $2 + 0 + 9 + 0 = 11$. Сумма всех цифр числа $2090x$ равна $11 + x$.
$0 \le x \le 9 \Rightarrow 11 \le 11+x \le 20$.
В этом диапазоне только 18 делится на 9.
$11 + x = 18$
$x = 18 - 11 = 7$
Проверка: число 20907, сумма цифр $2+0+9+0+7=18$. $20907 \div 9 = 2323$.
Ответ: 7.

3.29. Ученик выполнил сложение:

а) $3548 + 7256 + 8108 = 18911;$

б) $9756 + 8322 + 6565 = 24642.$

Учитель, не проверяя вычислений, определил, что в обоих примерах допущена ошибка. Как он обнаружил ошибку?

Учитель, не производя полных вычислений, смог обнаружить ошибки, проанализировав четность чисел или их последние цифры. Последняя цифра суммы определяется только последними цифрами слагаемых. Это позволяет очень быстро проверить правдоподобность результата.

а) $3548 + 7256 + 8108 = 18 911$

Рассмотрим слагаемые: 3548, 7256 и 8108. Все три числа являются четными, так как оканчиваются на четные цифры (8, 6 и 8). Сумма четных чисел всегда должна быть четным числом. Однако, результат, полученный учеником, — 18 911 — является нечетным числом, так как оканчивается на 1.

Также можно сложить только последние цифры слагаемых: $8 + 6 + 8 = 22$. Сумма оканчивается на цифру 2. Следовательно, и результат сложения исходных чисел должен оканчиваться на 2, а не на 1. Правильный ответ: $3548 + 7256 + 8108 = 18912$.

Ответ: Сумма трех четных чисел должна быть четной, а у ученика получился нечетный результат (18 911). Кроме того, сумма последних цифр $8+6+8=22$, значит, результат должен оканчиваться на 2, а не на 1.

б) $9756 + 8322 + 6565 = 24 642$

Рассмотрим слагаемые: 9756 (четное), 8322 (четное) и 6565 (нечетное). Сумма двух четных и одного нечетного числа ($четное + четное + нечетное = четное + нечетное$) всегда должна быть нечетным числом. Результат же, полученный учеником, — 24 642 — является четным, так как оканчивается на 2.

Проверим по последним цифрам: $6 + 2 + 5 = 13$. Сумма оканчивается на цифру 3. Следовательно, и результат сложения исходных чисел должен оканчиваться на 3, а не на 2. Правильный ответ: $9756 + 8322 + 6565 = 24643$.

Ответ: Сумма двух четных и одного нечетного числа должна быть нечетной, а у ученика получился четный результат (24 642). Кроме того, сумма последних цифр $6+2+5=13$, значит, результат должен оканчиваться на 3, а не на 2.

3.30. Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на:

а) 2;

б) 3;

в) 5;

г) 9;

д) 10.

а) 2

Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
Наименьшее шестизначное число: Наименьшее шестизначное число — 100 000. Оно оканчивается на 0, поэтому является чётным и делится на 2.
Наибольшее шестизначное число: Наибольшее шестизначное число — 999 999. Оно нечётное. Чтобы найти наибольшее шестизначное число, делящееся на 2, нужно найти ближайшее к 999 999 меньшее число с чётной последней цифрой. Это 999 998.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 998.

б) 3

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
Наименьшее шестизначное число: Сумма цифр числа 100 000 равна $1+0+0+0+0+0=1$. Эта сумма не делится на 3. Чтобы найти наименьшее шестизначное число, кратное 3, нужно минимально увеличить 100 000 так, чтобы сумма его цифр стала кратна 3. Ближайшая к 1 сумма, кратная 3, — это 3. Это достигается в числе 100 002 (сумма цифр $1+0+0+0+0+2=3$).
Наибольшее шестизначное число: Сумма цифр числа 999 999 равна $9 \times 6 = 54$. Так как $54$ делится на 3 ($54:3=18$), то и число 999 999 делится на 3.
Ответ: наименьшее — 100 002, наибольшее — 999 999.

в) 5

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра 0 или 5.
Наименьшее шестизначное число: Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5.
Наибольшее шестизначное число: Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее к нему меньшее число, оканчивающееся на 0 или 5, — это 999 995.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 995.

г) 9

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.
Наименьшее шестизначное число: Сумма цифр числа 100 000 равна 1. Эта сумма не делится на 9. Нужно найти наименьшее шестизначное число, сумма цифр которого кратна 9. Ближайшая к 1 сумма, кратная 9, — это 9. Для этого изменим последнюю цифру, получив число 100 008. Сумма его цифр $1+0+0+0+0+8=9$.
Наибольшее шестизначное число: Сумма цифр числа 999 999 равна $9 \times 6 = 54$. Так как $54$ делится на 9 ($54:9=6$), то и число 999 999 делится на 9.
Ответ: наименьшее — 100 008, наибольшее — 999 999.

д) 10

Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра 0.
Наименьшее шестизначное число: Наименьшее шестизначное число 100 000 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10.
Наибольшее шестизначное число: Наибольшее шестизначное число 999 999 оканчивается на 9. Ближайшее к нему меньшее число, оканчивающееся на 0, — это 999 990.
Ответ: наименьшее — 100 000, наибольшее — 999 990.

3.31. Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 60 р., несколько карандашей по 6 р. и несколько обложек для книг по 12 р. Продавец сказал, что нужно заплатить в кассу 345 р. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что продавец ошибся в подсчётах?

Саша смог определить ошибку в подсчетах, не зная всех деталей покупки (цены тетрадей и альбомов, количества карандашей и обложек), основываясь на свойстве четности чисел.

Давайте проанализируем стоимость покупки. Она складывается из стоимостей всех купленных товаров:

Стоимость 20 тетрадей: поскольку количество тетрадей (20) — четное число, то их общая стоимость будет выражаться четным числом, независимо от цены одной тетради. $20 \times Цена_{тетради}$ — это четное число.

Стоимость 2 альбомов: количество альбомов (2) — также четное число, значит, их общая стоимость тоже четная. $2 \times Цена_{альбома}$ — это четное число.

Стоимость авторучки: 60 рублей — это четное число.

Стоимость карандашей: цена одного карандаша — 6 рублей (четное число). Следовательно, стоимость любого количества карандашей будет четным числом, так как произведение любого целого числа на четное будет четным. $k \times 6$ — это четное число, где $k$ — количество карандашей.

Стоимость обложек: цена одной обложки — 12 рублей (четное число). Следовательно, стоимость любого количества обложек также будет четным числом. $m \times 12$ — это четное число, где $m$ — количество обложек.

Получается, что общая стоимость покупки является суммой пяти слагаемых, каждое из которых — четное число. Сумма любого количества четных чисел всегда является четным числом. Значит, итоговая стоимость покупки должна быть четной.

Продавец назвал сумму 345 рублей. Число 345 — нечетное. Сравнив этот факт с тем, что итоговая сумма должна быть четной, Саша понял, что продавец ошибся в расчетах.

Ответ: Общая стоимость покупки должна быть четным числом, так как стоимость каждого наименования товара (тетрадей, альбомов, ручки, карандашей, обложек) является четным числом. Продавец назвал сумму в 345 рублей — нечетное число. Это противоречие и позволило Саше обнаружить ошибку.