Страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.251. Фигуры домино, тримино, тетрамино¹ составляют из двух, трёх, четырёх квадратов так, что-бы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино (рис. 137). Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получатся только две различные фигуры тримино (рис. 138). Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино, которая получится, если на место цифры приложить третий квадрат. Убедитесь, что можно составить только 5 фигур тетрамино.

Рис. 137

Рис. 138

Тетрамино — это фигура, состоящая из четырех одинаковых квадратов, соединенных сторонами так, что каждый квадрат имеет общую сторону хотя бы с одним другим. Чтобы найти все возможные уникальные фигуры тетрамино (не считая фигуры, которые можно совместить поворотом или зеркальным отражением), мы можем построить их, добавляя один квадрат к фигурам тримино.

Как указано в условии, существует всего две различные фигуры тримино:

• Прямое тримино (I-тримино): три квадрата в один ряд.
• Угловое тримино (L-тримино): фигура в форме буквы "Г".

Рассмотрим последовательно все варианты добавления четвертого квадрата к этим двум фигурам.

Построение из прямого тримино

Возьмем прямое тримино, состоящее из трех квадратов в ряд:

□□□

К нему можно добавить четвертый квадрат, присоединив его к одной из свободных сторон. Проанализируем все уникальные варианты:

1. Присоединение к торцевой стороне одного из крайних квадратов. Это создает прямую линию из четырех квадратов. Получаем I-тетрамино.

   □□□□

2. Присоединение к боковой стороне одного из крайних квадратов. Получаем фигуру в форме буквы L. Это L-тетрамино.

   □
   □□□

3. Присоединение к боковой стороне центрального квадрата. Получаем фигуру в форме буквы T. Это T-тетрамино.

    □
   □□□

Таким образом, из прямого тримино можно получить $3$ различные фигуры тетрамино.

Построение из углового тримино

Возьмем угловое тримино:

□□
□

Проанализируем все уникальные варианты добавления четвертого квадрата:

1. Присоединение квадрата так, чтобы получился квадрат $2 \times 2$. Это новая фигура — O-тетрамино.

   □□
   □□

2. Присоединение квадрата к боковой стороне нижнего квадрата так, чтобы получился "зигзаг". Это новая фигура — S-тетрамино.

    □□
   □□

3. Все остальные способы присоединения четвертого квадрата к угловому тримино после поворотов и отражений приведут к уже найденным фигурам (L-тетрамино и T-тетрамино). Например, если продлить длинную или короткую часть, получится L-тетрамино. Если приставить квадрат к внутреннему углу, получится T-тетрамино.

Таким образом, из углового тримино можно получить $2$ новые фигуры тетрамино.

Итог

Мы исчерпали все возможности, построив все возможные тетрамино из двух существующих фигур тримино. В результате мы получили $3 + 2 = 5$ уникальных фигур тетрамино:

1. I-тетрамино (прямая)
2. L-тетрамино (буква L)
3. T-тетрамино (буква T)
4. O-тетрамино (квадрат)
5. S-тетрамино (зигзаг)

Следовательно, существует ровно $5$ различных фигур тетрамино.

Ответ: Чтобы убедиться, что можно составить только $5$ фигур тетрамино, нужно перебрать все возможные способы соединения четырех квадратов. Удобный способ сделать это — отталкиваться от фигур тримино, которых существует всего две (прямая и угловая), и добавлять к ним четвертый квадрат всеми возможными способами. Присоединяя квадрат к прямому тримино, получаем I-, L- и T-образные фигуры. Присоединяя квадрат к угловому тримино, получаем O- и S-образные фигуры, а также уже известные L- и T-образные. Таким образом, исчерпав все варианты, мы находим ровно $5$ уникальных фигур тетрамино: I, O, T, L, S.

2.252. Фигуры пентамино$^2$ можно получить из фигур тетрамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур пентамино можно составить?

Пентамино — это геометрические фигуры, состоящие из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами. Задача состоит в том, чтобы определить общее количество уникальных (свободных) фигур пентамино. Фигуры считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой с помощью поворотов или зеркальных отражений.

Для решения этой задачи мы будем исходить из фигур тетрамино (состоящих из 4 квадратов) и систематически добавлять к ним пятый квадрат.

Сначала определим все существующие уникальные фигуры тетрамино. Всего их 5:

• I-тетрамино (прямая линия из 4 квадратов)
• O-тетрамино (квадрат 2x2)
• T-тетрамино (три квадрата в ряд с одним, присоединённым к центральному)
• L-тетрамино (три квадрата в ряд с одним, присоединённым к крайнему)
• S-тетрамино (два соединённых домино со сдвигом)

Теперь для каждой из 5 фигур тетрамино рассмотрим все возможные места для добавления пятого квадрата. Мы будем отслеживать получающиеся фигуры и отбрасывать дубликаты.

1. При добавлении квадрата к I-тетрамино можно получить 3 уникальные фигуры пентамино, которые принято обозначать буквами I, Y, P.
2. Из O-тетрамино из-за его высокой симметрии можно получить только 1 уникальную фигуру — U-пентамино.
3. Из T-тетрамино можно получить 4 новые уникальные фигуры (T, F, L, X), а также одну уже найденную (Y).
4. Из L-тетрамино получаются 2 новые фигуры (N, W) и несколько уже известных (I, L, P, F, Y).
5. Из S-тетрамино также получаются 2 новые фигуры (V, Z) и несколько уже найденных (N, L, W, F, Y).

Соберем все уникальные фигуры, которые мы обнаружили. Каждая из них имеет стандартное обозначение в виде буквы латинского алфавита, форму которой она напоминает:

• F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z

Подсчитаем общее количество. На каждом шаге мы находили новые, ранее не встречавшиеся фигуры:

• Из I-тетрамино: 3
• Из O-тетрамино: 1
• Из T-тетрамино: 4
• Из L-тетрамино: 2
• Из S-тетрамино: 2

Суммарное количество уникальных фигур пентамино составляет: $3 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12$.

Ответ: 12

2.253. Фигуры $гексамино^3$ можно получить из фигур пентамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур гексамино можно составить?

Чтобы найти общее количество фигур гексамино, необходимо использовать фигуры пентамино в качестве основы. Гексамино — это фигура из шести квадратов, соединённых сторонами, а пентамино — из пяти.

Процесс решения состоит в следующем. Во-первых, мы берем все существующие уникальные фигуры пентамино. Всего их 12 (если считать фигуры, совпадающие при зеркальном отражении, за одну).

Во-вторых, к каждой из этих 12 фигур мы пробуем присоединить еще один, шестой квадрат. Этот дополнительный квадрат можно приставить к любой свободной стороне любого из пяти квадратов, из которых состоит пентамино.

Ключевая сложность этой задачи — появление большого количества одинаковых фигур гексамино, полученных разными способами. Одна и та же фигура гексамино может быть образована из разных исходных пентамино. Также, из-за симметрии, присоединение квадрата к разным местам одного и того же пентамино может привести к одинаковому результату. Две фигуры считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой поворотом или зеркальным отражением.

Поэтому необходимо сгенерировать все возможные варианты, а затем систематически исключить все дубликаты. После проведения такого полного перебора и анализа всех полученных фигур остается конечное число уникальных гексамино.

В результате этого комбинаторного подсчета установлено, что существует ровно 35 различных (свободных) фигур гексамино.

Ответ: 35.

2.254. Сколько различных развёрток имеет куб? Для решения этой задачи рассмотрите фигуры гексамино (см. задачу 2.253).

Развёртка куба — это плоская (двумерная) фигура, которую можно сложить, чтобы получить трёхмерный куб. Каждая грань куба представляет собой квадрат. Так как у куба 6 граней, его развёртка всегда состоит из 6 квадратов, соединённых сторонами. Такие фигуры, состоящие из 6 соединённых по сторонам квадратов, называются гексамино.

Всего существует 35 различных (свободных, то есть без учёта поворотов и отражений) гексамино. Задача состоит в том, чтобы определить, какие из этих 35 фигур можно свернуть в куб. Основное условие — при сворачивании грани не должны накладываться друг на друга.

Для систематического поиска всех развёрток можно классифицировать фигуры гексамино по длине самой длинной непрерывной цепочки квадратов.

Сразу можно исключить все гексамино, у которых 5 или 6 квадратов выстроены в один ряд. При попытке сложить такую фигуру грани неизбежно наложатся друг на друга.

Рассмотрим подходящие конфигурации:

Такие развёртки имеют "хребет" из 4 квадратов, которые образуют боковые грани куба. Два оставшихся квадрата играют роль дна и крышки. Существует 6 таких различных развёрток:

█
████
█
█
████
█
██
████
█ █
████
█ █
████
██
████


Эти развёртки имеют более сложную структуру. Их существует 5:

█
███
█
█
█
██
█
█
██
██
█
█
█
███
█
█
█
███
█
█


Таким образом, мы нашли все возможные конфигурации. Сложив количество развёрток в каждой группе, получим общее число:

$6 + 5 = 11$

Всего существует 11 различных развёрток куба.

Ответ: 11

2.255. Пол в классе имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м. Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз, то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса?

Для того чтобы узнать, во сколько раз площадь класса на плане будет меньше настоящей площади, необходимо найти отношение настоящей площади к площади на плане.

Сначала вычислим настоящую площадь класса ($S_{наст}$). Пол представляет собой прямоугольник со сторонами 5 м и 6 м, поэтому его площадь равна произведению этих сторон:

$S_{наст} = 5 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 30 \text{ м}^2$

Далее найдем размеры класса на плане. По условию, каждая сторона уменьшена в 10 раз:

Первая сторона на плане: $a_{план} = \frac{5 \text{ м}}{10} = 0.5 \text{ м}$

Вторая сторона на плане: $b_{план} = \frac{6 \text{ м}}{10} = 0.6 \text{ м}$

Теперь вычислим площадь класса на плане ($S_{план}$), перемножив его новые стороны:

$S_{план} = a_{план} \times b_{план} = 0.5 \text{ м} \times 0.6 \text{ м} = 0.3 \text{ м}^2$

Наконец, найдем искомое отношение, разделив настоящую площадь на площадь на плане:

$\frac{S_{наст}}{S_{план}} = \frac{30 \text{ м}^2}{0.3 \text{ м}^2} = 100$

Таким образом, площадь класса на плане в 100 раз меньше настоящей площади.

Эту задачу можно решить и в общем виде. Если линейные размеры фигуры (в данном случае стороны прямоугольника) уменьшаются в $k$ раз, то ее площадь уменьшается в $k^2$ раз. Поскольку стороны уменьшились в 10 раз, площадь уменьшится в $10^2 = 10 \times 10 = 100$ раз.

Ответ: в 100 раз.