Номер 2.252, страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.252. Фигуры пентамино$^2$ можно получить из фигур тетрамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур пентамино можно составить?

Пентамино — это геометрические фигуры, состоящие из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами. Задача состоит в том, чтобы определить общее количество уникальных (свободных) фигур пентамино. Фигуры считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой с помощью поворотов или зеркальных отражений.

Для решения этой задачи мы будем исходить из фигур тетрамино (состоящих из 4 квадратов) и систематически добавлять к ним пятый квадрат.

Сначала определим все существующие уникальные фигуры тетрамино. Всего их 5:

• I-тетрамино (прямая линия из 4 квадратов)
• O-тетрамино (квадрат 2x2)
• T-тетрамино (три квадрата в ряд с одним, присоединённым к центральному)
• L-тетрамино (три квадрата в ряд с одним, присоединённым к крайнему)
• S-тетрамино (два соединённых домино со сдвигом)

Теперь для каждой из 5 фигур тетрамино рассмотрим все возможные места для добавления пятого квадрата. Мы будем отслеживать получающиеся фигуры и отбрасывать дубликаты.

1. При добавлении квадрата к I-тетрамино можно получить 3 уникальные фигуры пентамино, которые принято обозначать буквами I, Y, P.
2. Из O-тетрамино из-за его высокой симметрии можно получить только 1 уникальную фигуру — U-пентамино.
3. Из T-тетрамино можно получить 4 новые уникальные фигуры (T, F, L, X), а также одну уже найденную (Y).
4. Из L-тетрамино получаются 2 новые фигуры (N, W) и несколько уже известных (I, L, P, F, Y).
5. Из S-тетрамино также получаются 2 новые фигуры (V, Z) и несколько уже найденных (N, L, W, F, Y).

Соберем все уникальные фигуры, которые мы обнаружили. Каждая из них имеет стандартное обозначение в виде буквы латинского алфавита, форму которой она напоминает:

• F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z

Подсчитаем общее количество. На каждом шаге мы находили новые, ранее не встречавшиеся фигуры:

• Из I-тетрамино: 3
• Из O-тетрамино: 1
• Из T-тетрамино: 4
• Из L-тетрамино: 2
• Из S-тетрамино: 2

Суммарное количество уникальных фигур пентамино составляет: $3 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12$.

Ответ: 12