Номер 2.249, страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.249. Из прямоугольника $10 \times 7$ вырезали прямоугольник $1 \times 6$ (рис. 134). Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Рис. 134

Для решения этой задачи сначала определим площадь полученной фигуры. Изначально был прямоугольник размером $10 \times 7$, его площадь составляла $S_1 = 10 \times 7 = 70$ условных единиц (клеток). Из него вырезали прямоугольник $1 \times 6$, площадью $S_2 = 1 \times 6 = 6$ клеток.

Площадь полученной фигуры равна $S = S_1 - S_2 = 70 - 6 = 64$ клетки.

Чтобы из этой фигуры сложить квадрат, его площадь также должна быть равна 64 клеткам. Сторона такого квадрата будет равна $\sqrt{64} = 8$ клеток. Таким образом, наша цель — разрезать фигуру на две части и сложить из них квадрат $8 \times 8$.

Разрез должен быть сделан в виде ступенчатой линии. Опишем этот разрез, используя систему координат, где левый верхний угол — точка (0,0), первая координата — столбец (от 0 до 9), вторая — строка (от 0 до 6). Вырезанный прямоугольник (отверстие) находится в строке 3, в столбцах со 2 по 7.

Линия разреза проходит следующим образом:

1. Начинается на верхней границе фигуры, между столбцами 1 и 2.
2. Идет вертикально вниз на 3 клетки, доходя до уровня над отверстием.
3. Поворачивает направо и идет горизонтально на 6 клеток, проходя над отверстием.
4. Поворачивает вниз и идет до нижней границы фигуры.

Визуально это выглядит так (символом | или - обозначена линия разреза, H — отверстие):

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Строка 0: A A | B B B B B B | B BСтрока 1: A A | B B B B B B | B BСтрока 2: A A | B B B B B B | B B -----------Строка 3: A A | H H H H H H | B BСтрока 4: A A A A A A A A | B BСтрока 5: A A A A A A A A | B BСтрока 6: A A A A A A A A | B B

В результате получаются две части, которые условно назовем «сапог» (Часть А) и «перевернутый сапог» (Часть Б).

• Часть А (левая/нижняя): состоит из прямоугольника $2 \times 7$ (колонки 0-1) и примыкающего к нему снизу прямоугольника $6 \times 3$ (колонки 2-7, строки 4-6).
• Часть Б (правая/верхняя): состоит из прямоугольника $2 \times 7$ (колонки 8-9) и примыкающего к нему сверху прямоугольника $6 \times 3$ (колонки 2-7, строки 0-2).

Теперь, чтобы сложить квадрат $8 \times 8$, нужно взять Часть Б и переместить ее, приложив к Части А. Часть Б сдвигается на 2 клетки влево и на 4 клетки вверх.

Ниже показана схема сборки квадрата $8 \times 8$ из этих двух частей.

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7Строка 0: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 1: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 2: Б Б Б Б Б Б | А АСтрока 3: Б Б Б Б Б Б | А А -----------Строка 4: Б Б | А А А А А АСтрока 5: Б Б | А А А А А АСтрока 6: Б Б | А А А А А АСтрока 7: Б Б | А А А А А А

В этой схеме Часть А была повернута на 90 градусов против часовой стрелки и отражена, чтобы показать принцип стыковки. Более точная схема без поворотов будет выглядеть так:

 Колонки: 0 1 2 3 4 5 6 7Строка 0: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 1: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 2: Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_г Б_гСтрока 3: А_г А_г | Б_в Б_в Б_в Б_в Б_в Б_вСтрока 4: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 5: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 6: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_вСтрока 7: А_г А_г | А_в А_в А_в А_в А_в А_в

Здесь `А_г` и `А_в` — горизонтальная и вертикальная части фигуры А, `Б_г` и `Б_в` — соответственно части фигуры Б. Эта схема показывает, что части действительно можно состыковать в квадрат $8 \times 8$.

Ответ: Фигуру нужно разрезать ступенчатой линией, как показано на первой схеме. Разрез начинается на верхней стороне между 2-м и 3-м столбцами, идет на 3 клетки вниз, затем на 6 клеток вправо (над отверстием) и затем на 4 клетки вниз до нижней стороны. Полученные две части можно сложить в квадрат $8 \times 8$.