Номер 2.244, страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.244. а) Определите периметр шестиугольника (рис. 130).

б) Определите площадь многоугольника (рис. 131).

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 131, а. Какое условие лишнее?

Рис. 129

4 см

9 см

Рис. 130

а) 2 см 7 см

4 см

9 см

б) 7 см

6 см

в) 13 см

5 см 17 см 5 см

Рис. 131

а) Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Фигура на рисунке 130 представляет собой шестиугольник. Две его стороны, определяющие максимальную ширину и высоту, равны 9 см и 4 см соответственно. Для такого прямоугольного многоугольника периметр можно вычислить как удвоенную сумму его максимальной ширины ($L$) и высоты ($H$).

Формула для расчета периметра:

$P = 2 \cdot (L + H)$

Подставим известные значения:

$P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}$

Ответ: 26 см.

б) Необходимо найти площади трех многоугольников, изображенных на рисунке 131.

Площадь многоугольника а):

Этот многоугольник можно разбить на два прямоугольника. Проведем вертикальное разделение.
Левый прямоугольник будет иметь размеры 7 см на 4 см. Его площадь $S_1 = 7 \cdot 4 = 28$ см².
Правый прямоугольник будет иметь ширину $9 \text{ см} - 7 \text{ см} = 2$ см и высоту $4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2$ см. Его площадь $S_2 = 2 \cdot 2 = 4$ см².
Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух прямоугольников:
$S_a = S_1 + S_2 = 28 + 4 = 32$ см².

Площадь многоугольника б):

Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7 см и основанием 6 см. Для нахождения площади по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, сначала найдем высоту $h$, опущенную на основание.
Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника – это высота $h$ и половина основания ($\frac{6}{2}=3$ см), а гипотенуза – боковая сторона (7 см).
По теореме Пифагора: $h^2 + 3^2 = 7^2$.
$h^2 + 9 = 49$.
$h^2 = 40$, следовательно, $h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$ см².

Площадь многоугольника в):

Это равнобедренная трапеция. Дано нижнее основание $b_1 = 17$ см, боковая сторона $l = 13$ см и проекция боковой стороны на нижнее основание $p = 5$ см.
Сначала найдем высоту трапеции $h$ из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и проекцией.
По теореме Пифагора: $h^2 + 5^2 = 13^2$.
$h^2 + 25 = 169$.
$h^2 = 144$, следовательно, $h = 12$ см.
Далее найдем верхнее основание $b_2$. Оно короче нижнего на две длины проекции: $b_2 = 17 - 5 - 5 = 7$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$:
$S_в = \frac{17 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$ см².

Ответ: площадь многоугольника а) равна 32 см², площадь многоугольника б) равна $6\sqrt{10}$ см², площадь многоугольника в) равна 144 см².

в) Сначала определим периметр многоугольника, изображенного на рисунке 131, а. Периметр – это сумма длин всех сторон.

Фигура имеет шесть сторон. Четыре из них даны: 9 см, 4 см, 7 см, 2 см. Найдем длины двух недостающих сторон.
Правая вертикальная сторона равна разности общей высоты и длины внутреннего вертикального отрезка: $4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2$ см.
Внутренняя горизонтальная сторона равна разности общей ширины и длины верхнего горизонтального отрезка: $9 \text{ см} - 7 \text{ см} = 2$ см.
Сложим длины всех шести сторон:
$P = 9 + 4 + 7 + 2 + 2 + 2 = 26$ см.

Теперь ответим на вопрос: "Какое условие лишнее?".
Как было показано в пункте а), периметр такого прямоугольного многоугольника зависит только от его максимальной ширины (9 см) и максимальной высоты (4 см).
$P = 2 \cdot (\text{ширина} + \text{высота}) = 2 \cdot (9 + 4) = 26$ см.
Этот расчет не использует значения внутренних сторон (7 см и 2 см). Это означает, что для нахождения периметра эти данные не нужны.
Следовательно, для вычисления периметра данной фигуры оба условия – длина 7 см и длина 2 см – являются лишними.

Ответ: периметр равен 26 см. Лишним условием является, например, длина стороны 7 см (также можно указать и длину стороны 2 см).