Номер 2.251, страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.251. Фигуры домино, тримино, тетрамино¹ составляют из двух, трёх, четырёх квадратов так, что-бы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино (рис. 137). Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получатся только две различные фигуры тримино (рис. 138). Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино, которая получится, если на место цифры приложить третий квадрат. Убедитесь, что можно составить только 5 фигур тетрамино.

Рис. 137

Рис. 138

Тетрамино — это фигура, состоящая из четырех одинаковых квадратов, соединенных сторонами так, что каждый квадрат имеет общую сторону хотя бы с одним другим. Чтобы найти все возможные уникальные фигуры тетрамино (не считая фигуры, которые можно совместить поворотом или зеркальным отражением), мы можем построить их, добавляя один квадрат к фигурам тримино.

Как указано в условии, существует всего две различные фигуры тримино:

• Прямое тримино (I-тримино): три квадрата в один ряд.
• Угловое тримино (L-тримино): фигура в форме буквы "Г".

Рассмотрим последовательно все варианты добавления четвертого квадрата к этим двум фигурам.

Построение из прямого тримино

Возьмем прямое тримино, состоящее из трех квадратов в ряд:

□□□

К нему можно добавить четвертый квадрат, присоединив его к одной из свободных сторон. Проанализируем все уникальные варианты:

1. Присоединение к торцевой стороне одного из крайних квадратов. Это создает прямую линию из четырех квадратов. Получаем I-тетрамино.

   □□□□

2. Присоединение к боковой стороне одного из крайних квадратов. Получаем фигуру в форме буквы L. Это L-тетрамино.

   □
   □□□

3. Присоединение к боковой стороне центрального квадрата. Получаем фигуру в форме буквы T. Это T-тетрамино.

    □
   □□□

Таким образом, из прямого тримино можно получить $3$ различные фигуры тетрамино.

Построение из углового тримино

Возьмем угловое тримино:

□□
□

Проанализируем все уникальные варианты добавления четвертого квадрата:

1. Присоединение квадрата так, чтобы получился квадрат $2 \times 2$. Это новая фигура — O-тетрамино.

   □□
   □□

2. Присоединение квадрата к боковой стороне нижнего квадрата так, чтобы получился "зигзаг". Это новая фигура — S-тетрамино.

    □□
   □□

3. Все остальные способы присоединения четвертого квадрата к угловому тримино после поворотов и отражений приведут к уже найденным фигурам (L-тетрамино и T-тетрамино). Например, если продлить длинную или короткую часть, получится L-тетрамино. Если приставить квадрат к внутреннему углу, получится T-тетрамино.

Таким образом, из углового тримино можно получить $2$ новые фигуры тетрамино.

Итог

Мы исчерпали все возможности, построив все возможные тетрамино из двух существующих фигур тримино. В результате мы получили $3 + 2 = 5$ уникальных фигур тетрамино:

1. I-тетрамино (прямая)
2. L-тетрамино (буква L)
3. T-тетрамино (буква T)
4. O-тетрамино (квадрат)
5. S-тетрамино (зигзаг)

Следовательно, существует ровно $5$ различных фигур тетрамино.

Ответ: Чтобы убедиться, что можно составить только $5$ фигур тетрамино, нужно перебрать все возможные способы соединения четырех квадратов. Удобный способ сделать это — отталкиваться от фигур тримино, которых существует всего две (прямая и угловая), и добавлять к ним четвертый квадрат всеми возможными способами. Присоединяя квадрат к прямому тримино, получаем I-, L- и T-образные фигуры. Присоединяя квадрат к угловому тримино, получаем O- и S-образные фигуры, а также уже известные L- и T-образные. Таким образом, исчерпав все варианты, мы находим ровно $5$ уникальных фигур тетрамино: I, O, T, L, S.