Номер 3.1, страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Сформулируйте свойства делимости.

Делимость — это отношение между двумя целыми числами. Говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$ (не равное нулю), если существует такое целое число $k$, что $a = b \cdot k$. Это записывается как $b|a$ (читается «b делит a»).

Основные свойства делимости:

1. Рефлексивность

Любое целое число $a$, не равное нулю, делится само на себя. Это следует из того, что для любого $a \neq 0$ можно записать $a = a \cdot 1$, где частное $k=1$ является целым числом.

Ответ: Для любого целого $a \neq 0$ верно, что $a|a$.

2. Делимость на единицу

Любое целое число $a$ делится на $1$ и на $-1$. Это следует из того, что для любого $a$ можно записать $a = 1 \cdot a$ и $a = (-1) \cdot (-a)$.

Ответ: Для любого целого $a$ верно, что $1|a$ и $(-1)|a$.

3. Делимость нуля

Нуль делится на любое целое число $a$, не равное нулю. Это следует из того, что $0 = a \cdot 0$, где частное $k=0$ является целым числом. Деление на ноль не определено.

Ответ: Для любого целого $a \neq 0$ верно, что $a|0$.

4. Транзитивность

Если число $a$ делится на $b$, а число $b$ делится на $c$, то число $a$ делится на $c$.
Доказательство: Если $c|b$, то существует целое $k_1$ такое, что $b = c \cdot k_1$. Если $b|a$, то существует целое $k_2$ такое, что $a = b \cdot k_2$. Подставим выражение для $b$ во второе равенство: $a = (c \cdot k_1) \cdot k_2 = c \cdot (k_1 \cdot k_2)$. Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их произведение $k_3 = k_1 \cdot k_2$ также является целым числом. Следовательно, $a = c \cdot k_3$, что по определению означает $c|a$.
Например, $48$ делится на $12$, а $12$ делится на $6$. Следовательно, $48$ делится на $6$.

Ответ: Если $c|b$ и $b|a$, то $c|a$.

5. Свойство линейности

Если некоторое число $c$ делит числа $a$ и $b$, то оно делит и их сумму, и их разность, и в общем виде — любую их линейную комбинацию.
Доказательство: Если $c|a$, то $a = c \cdot k_1$. Если $c|b$, то $b = c \cdot k_2$. Тогда для любых целых $x$ и $y$ имеем: $xa+yb = x(c \cdot k_1) + y(c \cdot k_2) = c \cdot (xk_1 + yk_2)$. Так как $x, y, k_1, k_2$ — целые числа, то выражение в скобках $k_3 = xk_1 + yk_2$ также является целым числом. Следовательно, $c|(xa+yb)$.
Например, $4$ делит $12$ и $4$ делит $20$. Значит, $4$ делит их сумму $12+20=32$ и их разность $20-12=8$.

Ответ: Если $c|a$ и $c|b$, то для любых целых $x$ и $y$ верно, что $c|(xa+yb)$.

6. Свойство делимости произведения

Если число $a$ делится на $b$, то произведение числа $a$ на любое целое число $c$ также делится на $b$.
Доказательство: Если $b|a$, то существует целое $k$ такое, что $a = b \cdot k$. Умножим обе части на $c$: $ac = (b \cdot k) \cdot c = b \cdot (kc)$. Так как $kc$ — целое число, то по определению $b|(ac)$.
Например, $15$ делится на $3$. Значит, $15 \cdot 4 = 60$ тоже делится на $3$.

Ответ: Если $b|a$, то для любого целого $c$ верно, что $b|(ac)$.

7. Антисимметричность (с точностью до знака)

Если число $a$ делится на $b$, и число $b$ делится на $a$, то эти числа либо равны, либо противоположны по знаку.
Доказательство: Если $a|b$ и $b|a$, то $b = a \cdot k_1$ и $a = b \cdot k_2$ для некоторых целых $k_1, k_2$. Подставим второе равенство в первое: $b = (b \cdot k_2) \cdot k_1 = b \cdot (k_1 k_2)$. Если $b \neq 0$, то можно сократить на $b$, получив $1 = k_1 k_2$. Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, это возможно только если $k_1=k_2=1$ или $k_1=k_2=-1$. В первом случае $a=b$, во втором $a=-b$. Если $b=0$, то из $b|a$ следует, что $a=0$. Таким образом, $|a|=|b|$.

Ответ: Если $a|b$ и $b|a$, то $|a|=|b|$.

8. Следствие для суммы

Если в сумме двух чисел одно слагаемое делится на некоторое число $c$, а второе не делится, то и вся сумма не делится на $c$.
Доказательство (от противного): Предположим, что $c|(a+b)$. По условию, $c|a$. Тогда по свойству линейности $c$ должно делить и их разность: $(a+b) - a = b$. То есть, $c|b$. Но это противоречит условию, что $c$ не делит $b$ ($c \nmid b$). Следовательно, наше предположение неверно, и $c \nmid (a+b)$.
Например, $10$ делится на $5$, а $7$ не делится на $5$. Значит, их сумма $10+7=17$ не делится на $5$.

Ответ: Если $c|a$ и $c \nmid b$, то $c \nmid (a+b)$.