Номер 3.7, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

3.7. Верно ли утверждение:

а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;

б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;

в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

а) если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2;

Это утверждение верно. Данное свойство является одним из основных свойств делимости.

Доказательство: Пусть у нас есть два слагаемых, $a$ и $b$. По условию, каждое из них делится на 2. Это означает, что их можно представить в виде: $a = 2 \cdot k$ $b = 2 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Найдем их сумму: $S = a + b = 2 \cdot k + 2 \cdot m$

Используя распределительный закон, вынесем общий множитель 2 за скобки: $S = 2 \cdot (k + m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Следовательно, сумма $S$ представляет собой произведение числа 2 на целое число, что по определению означает, что $S$ делится на 2.

Например, числа 6 и 10 делятся на 2. Их сумма $6 + 10 = 16$. Число 16 также делится на 2.

Ответ: Да, утверждение верно.

б) если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5;

Это утверждение также верно. Логика доказательства полностью аналогична предыдущему пункту, так как это общее свойство делимости, которое работает для любого делителя.

Доказательство: Пусть слагаемые $a$ и $b$ делятся на 5. Это значит, что: $a = 5 \cdot k$ $b = 5 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Их сумма равна: $S = a + b = 5 \cdot k + 5 \cdot m$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S = 5 \cdot (k + m)$

Так как сумма целых чисел $(k + m)$ — это тоже целое число, то сумма $S$ по определению делится на 5.

Например, числа 15 и 20 делятся на 5. Их сумма $15 + 20 = 35$. Число 35 также делится на 5.

Ответ: Да, утверждение верно.

в) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

Да, это утверждение верно. Свойство делимости сохраняется не только для сложения, но и для вычитания.

Доказательство: Пусть уменьшаемое — это $a$, а вычитаемое — это $b$. По условию, оба числа делятся на 3. Это можно записать как: $a = 3 \cdot k$ $b = 3 \cdot m$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Найдем их разность: $D = a - b = 3 \cdot k - 3 \cdot m$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $D = 3 \cdot (k - m)$

Разность целых чисел $(k - m)$ также является целым числом. Таким образом, разность $D$ является произведением числа 3 на целое число, а значит, она делится на 3.

Например, уменьшаемое 21 и вычитаемое 9 оба делятся на 3. Их разность $21 - 9 = 12$. Число 12 также делится на 3.

Ответ: Да, утверждение верно.